ANALYSE I et II Semaine du 17 au 21 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
Corrig´e 5 du mercredi 19 octobre 2011
Exercice 1.
Soit (an)n≥0une suite de nombres r´eels. Montrons que
∞
X
n=0
(an+1−an)<+∞ ⇔ ∃`∈R, tel que lim
n→∞an=`.
D´emonstration : D´eveloppons les sommes partielles de la s´erie:
Sn=
n
X
k=0
(ak+1−ak) =a1−a0+a2−a1+· · ·+an−an−1+an+1−an =an+1−a0.
En passant `a la limite, on a
∞
X
n=0
(an+1−an) = lim
n→∞Sn= lim
n→∞(an+1)−a0.
Ainsi, on a bien que la limite deSn existe si et seulement si la limite de la suite (an)n≥0existe.
Exercice 2.
Soit (an)n≥0une suite de nombres r´eels positifs ou nuls. Montrons que
∞
X
n=0
an <+∞
!
⇔
∞
X
n=0
an
1 +an <+∞
!
D´emonstration : 1) Si on suppose que
∞
X
n=0
an<+∞, puisque 0≤1+aan
n ≤an, par le crit`ere de comparaison on a
∞
X
n=0
an
1 +an
<+∞.
2) Si on suppose maintenant que
∞
X
n=0
an 1 +an
<+∞, on a en particulier que
n→∞lim an
1 +an = 0.
Ainsi, il existeN tel que ∀n > N on a an
1 +an
< 1
2 ⇔ an <1 2 +1
2an ⇔ an<1.
Ainsi, si on poseM = max
k=0,...,N|ak|, on a, pour toutp > N,
p
X
n=0
an =
N
X
n=0
an+
p
X
n=N+1
an ≤ M(N+ 1) +
p
X
n=N+1
an
1 +an
(1 +an
| {z }
≤2
)
≤ M(N+ 1) + 2
p
X
n=N+1
an
1 +an
≤ M(N+ 1) + 2
∞
X
n=0
an 1 +an
.
Ainsi, la suite des sommes partielles
p
X
n=0
an
∞
p=0est croissante et born´ee. On en conclut la convergence de la s´erie
∞
X
n=0
an.
Exercice 3.
Soient (an)n≥0 et (bn)n≥0 deux suites de nombres r´eels positifs pour lesquelles il existen0∈Ntel que:
an+1
an ≤ bn+1
bn , pour tout entiern≥n0. 1) Montrons que
∞
X
n=0
bn <+∞ ⇒
∞
X
n=0
an<+∞.
D´emonstration : Par hypoth`ese, on a an+1
bn+1
≤an bn
≤ an−1
bn−1 ≤. . .≤ an0 bn0
=β, ∀n≥n0. Ainsian ≤βbn,∀n≥n0. Si de plus on poseM = max
k=0,...,n0−1|ak|, on a pourp≥n0, Sap=
p
X
k=0
ak=
n0−1
X
k=0
ak+
p
X
k=n0
ak ≤M n0+β
p
X
k=n0
bk ≤M n0+β
p
X
k=0
bk.
Par hypoth`ese, la suiteXp
k=0
bk
∞
p=0, qui est croissante, converge ; posons` >0 sa limite. On a alors Spa≤M n0+β`, ∀p≥n0.
La suite (Sap)∞p=0´etant de plus croissante, elle converge et donc la s´erieP∞
n=0an converge.
2) Montrons que
∞
X
n=0
an= +∞ ⇒
∞
X
n=0
bn= +∞.
D´emonstration : C’est une conclusion ´evidente de la relation suivante obtenue au point 1):
p
X
k=0
ak ≤M n0+β
p
X
k=0
bk, ∀p≥n0.
