ANALYSE I et II Semaine du 31 octobre au 4 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
Corrig´e 7 du lundi 31 octobre 2011
Exercice 1.
Puisquef est d´efinie au voisinage dex0∈R, alorsf est d´efinie `a gauche et `a droite dex0. 1o) Puisquef
]x
0−δ,x0[ est born´ee, il existe`∈Rtel que `= sup
x∈]x0−δ,x0[
f(x).
Pour tout >0 donn´e, il existeα∈]x0−δ, x0[ tel que
`≥f(α)≥`−. Et puisquef
]x
0−δ,x0[ est croissante, on a
`≥f(x)≥f(α)≥`−, ∀x∈[α, x0[.
Par suite|f(x)−`| ≤pour toutx∈[α, x0[. On obtient donc, puisqueest quelconque,
x→lim
<x0
f(x) =`.
2o) Puisquef ]x
0,x0+δ[ est born´ee, il existem∈Rtel quem= sup
x∈]x0,x0+δ[
f(x).
Pour tout >0 donn´e, il existeβ ∈]x0, x0+δ[ tel que m≥f(β)≥m−. Et puisquef
]x0,x0+δ[ est d´ecroissante, on a
m≥f(x)≥f(β)≥m−, ∀x∈]x0, β[
ce qui prouve que|f(x)−m| ≤,∀x∈]x0, β[ et par suite
x→lim
>x0f(x) =m.
Exercice 2.
Cherchons pour quelles valeurs deα∈R, on a l’existence de la limite suivante
x→lim
6=α
x4+αx3−8αx sin(α4−x4) . 1) (Existence)Puisque (*) lim
x→06=
sin(x)
x = 1 , sous reserve d’existence de ces limites, on a
x→lim
6=α
x4+αx3−8αx sin(α4−x4) = lim
x→6=α
x4+αx3−8αx α4−x4 .
Mais puisqu’`a la limite le d´enominateur tend vers 0, cette limite ne peut exister que siαest racine du num´erateur, i.e.
α4+αα3−8αα= 0⇔2α2(α2−4) = 0⇔α= 0 ouα=±2.
2) (Limites)
• Si α= 0, la limite se ram`ene `a
x→0lim
6=
x4 sin(−x4) =
(*)
−1.
• Si α= 2, la limite se ram`ene `a
x→2lim
6=
x(x−2)(x2+ 4x+ 8)
(4 +x2)(2 +x)(2−x) =−lim
x→26=
x(x2+ 4x+ 8)
(4 +x2)(2 +x) =−40 32 =−5
4.
• Si α=−2, la limite se ram`ene `a
x→−2lim
6=
x(x+ 2)(x2−4x+ 8)
(4 +x2)(−2−x)(−2 +x)=− lim
x→−2
6=
x(x2−4x+ 8)
(4 +x2)(x−2) =−40 32 =−5
4.
Exercice 3.
Soientf, g:R→Rdeux fonctions continues telles que pour toutx∈Q:f(x) =g(x).
Montrons quef(x) =g(x), ∀x∈R.
D´emonstration : Six /∈Q, par densit´e deQdansR, il existe une suite (an)∞n=0⊂Qtelle que lim
n→∞an=x.
Puisquef, gsont continues surR, on a
f(x) = lim
n→∞f(an) = lim
n→∞g(an) =g(x).
Exercice 4.
Cherchons les valeurs deα∈R, pour lesquels la limite
x→lim
6=α
x6−2αx5+ (α+ 1)x4 (x−α)tg (x−α)
existe. Rappelons que lorsque la limite existe, c’est un nombre r´eel. Le cas de limite infinie n’est qu’une notation.
Solution : Comme lim
x→
6=α
tg (x−α)
x−α = 1, on a
x→lim
6=α
x6−2αx5+ (α+ 1)x4 (x−α)tg (x−α) = lim
x→6=α
x6−2αx5+ (α+ 1)x4 (x−α)2 . Pour que cette limite existe, il faut queαsoit une racine double du num´erateur
x6−2αx5+ α+ 1)x4=x4(x2−2αx+ (α+ 1)
=x4
x−α+p
α2−α−1 x−α−p
α2−α−1 .
• Siα= 0 la limite vaut simplement lim
x→06=
x6+x4 x2 = 0.
• Sinon il faut que
α2−α−1 = 0 ⇔ α=1±√ 5 2 . On a alors
x→αlim
6=
x6−2αx5+ (α+ 1)x4 (x−α)2 = lim
x→α6=
x4(x−α)2 (x−α)2 =α4.
