ANALYSE I et II Semaine du 26 au 30 septembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
Corrig´e 2 du lundi 26 septembre 2011
Exercice 1.
On a:
1.)
24
X
k=1
1 4
1
k(k+ 1) = 1 4
24
X
k=1
1 k − 1
k+ 1
= 1 4
1− 1
25
= 6 25. 2.)
24
X
k=0
1
(2k+ 1)(2k+ 3) =1 2
24
X
k=0
1
2k+ 1− 1 2k+ 3
= 1 2
1− 1
51
= 25 51.
Exercice 2.
1.) Montrons que pour toutn≥1 on a
n
X
k=1
k= n(n+ 1)
2 .
On a, en d´eveloppant 2·
n
X
k=1
k = (1 + 2 +· · ·+n) + n+ (n−1) +· · ·+ 1
= (1 +n) + 2 + (n−1)
+· · ·+ (n−1) + 2
+ (n+ 1)
= (n+ 1) + (n+ 1) +· · ·+ (n+ 1)
= n(n+ 1).
2.) Montrons que pour tout entiern≥1:
n
X
k=1
k
!2
=
n
X
k=1
k3.
D´emonstration : Proc´edons par r´ecurrence.
• Pour n= 1, on a simplement
1
X
k=1
k
!2
= 1 =
1
X
k=1
k3.
• Supposons `a pr´esent que
j
X
k=1
k
!2
=
j
X
k=1
k3, ∀1≤j≤n,
et montrons que ¸ca reste vrai pourj=n+ 1. On a
n+1
X
k=1
k
!2
= (n+ 1) +
n
X
k=1
k
!2
= (n+ 1)2+ 2(n+ 1)
n
X
k=1
k
! +
n
X
k=1
k
!2
= (n+ 1)2+ 2(n+ 1)2n 2 +
n
X
k=1
k3
= (n+ 1)3+
n
X
k=1
k3=
n+1
X
k=1
k3.
Exercice 3.
Pour chacun des ensembles suivants dire s’il est major´e, minor´e ou born´e. S’il est major´e, donner son supremum.
S’il est minor´e, donner son infimum. Justifier votre r´eponse.
1.) S={x∈R: 0≤x≤1}: S est major´e par 1 et minor´e par 0 et donc born´e; on a infS= 0 et supS= 1 puisque 0 et 1 appartiennent `a S.
2.) S={x∈Q: 0< x <1}: Sest major´e par 1 et minor´e par 0 et donc born´e; on a infS= 0 et supS= 1 et 0 et 1 n’appartiennent pas `a S; mais S contient en particulier 1n et 1−n1 pour n= 2,3, . . .ce qui montre qu’on ne peut pas trouver de minorant>0 ni de majorant<1.
3.) S = {xn = (−1)n, n ∈ N}: S est born´e; on a infS = −1 et supS = 1 puisque −1 et 1 ∈ S et
−1≤(−1)n ≤1,∀n∈N. 4.) S={x∈Q:x <√
2}: S n’est pas minor´e, maisS est major´e par √
2; si M = supS, on a M ≤√ 2;
si on avaitM < √
2, il existeraita rationnel (par densit´e de Q dans R) tqM < a < √
2; on aurait donca∈S et M < ace qui serait une contradiction du fait queM est un majorant de S; on a donc supS=√
2.
5.) S = {xn = 1n, n ∈ N∗}: S est born´e; supS = 1 puisque 1 ∈ S et xn ≤1,∀n ∈ N∗; infS = 0 car 0< xn,∀n∈N∗ et ∀ tq 0< <1, il existe n∈N∗ tel que n1 =xn < et doncxn ∈S et xn < ; n’est pas un minorant deS.
6.) S={xn=(−1)nn, n∈N∗}: S est born´e; on a infS=−1 et supS= 12, les deux nombres sont dansS.
