Corrig´e 3 du lundi 3 octobre 2011

ANALYSE I et II Semaine du 3 au 7 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee

Prof. J. Rappaz

Corrig´e 3 du lundi 3 octobre 2011

Exercice 1.

Montrons que la suite (xn)_n≥0 d´efinie par x0= 1, xn+1= 1

2(xn+ sin(xn) cos(xn)), ∀n∈N, est convergente et calculons sa limite.

D´emonstration : On va montrer que la suite est d´ecroissante et minor´ee.

1.) On a sinxcosx= ¹₂sin 2x, ainsi

xn+1=1 2

xn+1

2sin(2xn)

. 2.) (Minoration) Montrons, par induction, que x_n>0, ∀n≥0 :

a) Pour N= 0 : x₀= 1>0.

b) Supposons quex_n >0, pourn= 0,1, . . . , N et montrons quex_N+1>0.

x_N+1= 1 2

x_N +1

2sin(2x_N)

=1

4(2x_N + sin(2x_N))≥1

4 2x_N −

sin(2x_N)

Puisque pour toutt >0,|sint|< t et que par hypoth`ese d’inductionxN >0, on a bien x_N+1>0.

La suite est donc born´ee inf´erieurement par z´ero.

3.) (D´ecroissance) On voit facilement que xn+1= 1

2xn+1

4sin(2xn)≤1 2xn+1

4 ·2xn =xn. La suite est donc d´ecroissante. Ainsi on a l’existence dex∈Rtel que lim

n→∞x_n=x.

4.) (Limite) Puisque lim

n→∞sin(2x_n) = sin(2x) on a x= 1

2x+1

4sin 2x ⇔ x= 1

2sin 2x ⇔ 2x= sin 2x, d’o`u on obtientx= 0.

Exercice 2.

Montrons que la suite (xn)n≥1 d´efinie par

x₀= 3, x₁= 2, x_n+1=p³

x_n+x_n−1, ∀n∈N^∗ est convergente et calculons sa limite.

D´emonstration :

1) (Convergence)Montrons par induction que la suite est minor´ee par 1 et d´ecroissante, i.e 1< xn+1< xn< x_n−1, ∀n∈N^∗.

a) Pour n= 1, on a

x₀= 3> x₁= 2> x₂=√³

2 + 3>1.

b) On suppose maintenant l’hypoth`ese vraie jusqu’`a n∈N^∗ et on va montrer qu’elle est vraie pour n+ 1. On a donc

1< x_k+1< x_k< x_k−1, ∀k= 1, . . . , n, et on veut montrer que

1< x_n+2< x_n+1< x_n. Comme la fonction √³

xest strictement croissante on a bien par l’hypoth`ese de r´ecurrence que x_n+1=p³

x_n+x_n−1 > p³

x_n+1+x_n=x_n+2. De plus, comme x_n et x_n+1 sont plus grands que 1, on a

x_n+2=p³

x_n+1+x_n >1.

Ainsi la suite (x_n)_n≥0 est minor´ee et d´ecroissante, donc convergente.

2) (Limite)Si x∈Rest la limite de la suite, il v´erifie alors l’´equation x³= 2x ⇒ x= 0 ou x=±√

2.

Mais commex_n>1,∀n∈N, on a finalement que lim

n→∞x_n=√ 2.

Exercice 3.

Th´eor`eme. Soient (xn)^∞_n=0 croissante et(yn)^∞_n=0 d´ecroissante telles que lim

n→∞(xn−yn) = 0. Alors 1.) ∀n∈N, on a

x₀≤x₁≤x₂≤. . .≤x_n≤y_n ≤y_n−1≤. . .≤y₀. 2.) lim

n→∞x_n= lim

n→∞y_n. D´emonstration :

1.) Posonsz_n =x_n−y_n. On a sin≥1

zn−z_n−1=xn−yn+y_n−1−x_n−1=





xn−x_n−1

| {z }

≥0





+





y_n−1−yn

| {z }

≥0





≥0.

Ainsi z_n ≥ z_n−1 et la suite (z_n)^∞_n=0 est croissante. Puisque lim

n→∞z_n = 0 par hypoth`ese, on aura zn≤0, ∀n∈N. Ainsi xn≤yn.

2.) Clairement la suite (xn)n≥0est croissante et major´ee. Elle converge donc vers x. La suite (yn)n≥0 est d´ecroissante et minor´ee. Elle converge donc versy.

De plus, on a

|x−y| ≤ |x−x_n

| {z }

−→0 n→∞

|+|x_n−y_n

| {z }

n→∞−→0

|+|y_n−y

| {z }

−→0 n→∞

|

et ainsix=y.