Corrig´e 5 du lundi 17 octobre 2011

ANALYSE I et II Semaine du 17 au 21 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee

Prof. J. Rappaz

Corrig´e 5 du lundi 17 octobre 2011

Exercice 1.

Soitα >0, ´etudions la convergence de

∞

X

n=1

αⁿ

n⁸. On posean= ^α_nⁿ8. On applique le crit`ere de Cauchy (crit`ere de la limsup):

n→∞lim pn

|an|= lim

n→∞

α

√n

n⁸ =α lim

n→∞

1

√n

n 8

=α.

• Si 0< α <1, la s´erie converge;

• Siα >1, la s´erie diverge;

• Siα= 1, la s´erie converge. En effet on a

∞

X

n=1

1 n⁸ ≤

∞

X

n=1

1

n² <+∞.

Exercice 2.

Soit (an)n≥0une suite de nombres r´eels positifs ou nuls. Montrons que

∞

X

n=0

an

1 +n²an

<+∞.

D´emonstration : Pour toutn >0 on a

• Sia_n= 0, on a, 0 = an

1 +n²a_n < 1 n²;

• Sia_n>0 on a

0≤ a_n 1 +n²an

< a_n n²an

= 1 n². Par comparaison avec

∞

X

n=1

1

n², on conclut `a la convergence de la s´erie.

Exercice 3.

Etudions la convergence de

∞

X

n=0

1

(2n+ 1)!+ (−1)ⁿ n²+n+ 1

.

1.) Montrons que

∞

X

n=0

1

(2n+ 1)! converge.

D´emonstration : On a

xn= 1

(2n+ 1)! et xn+1

x_n =(2n+ 1)!

(2n+ 3)!

et donc

xn+1

xn

= 1

(2n+ 3)(2n+ 2) →

n→∞0.

Le crit`ere de d’Alembert nous permet de conclure que la s´erie converge.

2.) Montrons que

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n²+n+ 1 converge.

D´emonstration : Si on pose

xn= (−1)ⁿ n²+n+ 1, on v´erifie ais´ement que

n→∞lim xn= 0, xn·xn+1<0 et |xn+1|<|xn|.

Le crit`ere des s´eries altern´ees nous permet de conclure que la s´erie converge.

Puisque, par les points 1.) et 2.), les deux s´eries convergent s´eparemment, leur somme converge ´egalement.

Exercice 4.

Identifions les trois constantesα, β etµtelles que pour tout entiern≥3:

n³

n! = α

(n−1)! + β

(n−2)! + µ (n−3)!. On a

n³

n! = α

(n−1)! + β

(n−2)!+ µ (n−3)!

= nα+n(n−1)β+n(n−1)(n−2)µ

n! .

Les coefficientsα,β et µv´erifient donc le syst`eme suivant:







µ= 1 β−3µ= 0 α−β+ 2µ= 0

⇔





 α= 1 β= 3 µ= 1 Ainsi, sin≥3,

n³

n! = 1

(n−1)! + 3

(n−2)! + 1 (n−3)!. A pr´esent consid´erons les sommes partielles

Sp=

p

X

n=1

n³

n!, avecp≥3.

Par ce qui pr´ec`ede nous pouvons ´ecrire Sp=

p

X

n=1

n³ n! =

2

X

n=1

n³ n! +

p

X

n=3

1

(n−1)! + 3

(n−2)!+ 1 (n−3)!

= 1³ 1! +2³

2! +

p

X

n=3

1 (n−1)!+ 3

p

X

n=3

1 (n−2)! +

p

X

n=3

1 (n−3)!

= 1 + 4 +

p−1

X

n=2

1 n!+ 3

p−2

X

n=1

1 n!+

p−3

X

n=0

1 n!

= 5 +

p−3

X

n=0

1 n! − 1

0!− 1

1!+ 1

(p−2)! + 1 (p−1)!+ 3

p−3

X

n=0

1 n!− 1

0!+ 1 (p−2)!

! +

p−3

X

n=0

1 n!

= 5

p−3

X

n=0

1

n!+ 4 1

(p−2)!+ 1 (p−1)!. En passant `a la limite nous obtenons:

∞

X

n=1

n³

n! = lim

p→∞Sp= lim

p→∞

"

5

p−3

X

n=0

1

n!+ 4 1

(p−2)!+ 1 (p−1)!

#

= 5

∞

X

n=0

1 n! = 5e.