Suites Lundi 5 octobre 2013

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Mathématiques TS8 – 2013-2014

Suites Lundi 5 octobre 2013

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Le barème est donné à titre indicatif.

La calculatrice est autorisée.

CORRIGE

Exercice N°1 (3 points)

Pour tout entier naturel n, on a : ^{− ≤ −}¹

( )

¹ ⁿ ^≤¹^{, d’où :}²ⁿ²^{− ≤}¹ ²ⁿ²^{+ −}

( )

¹ ⁿ ^≤²ⁿ²⁺¹^puis,

3n2+1 étant supérieur ou égal à 1 et donc strictement positif :

( )

2 2 2

2 1

2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

n n

n n n

− ≤ + − ≤ +

+ + +

C'est-à-dire :

2 2

2 1 2 1

3 1 ⁿ 3 1

n n

n u n

− ≤ ≤ +

+ + .

Pour tout n entier naturel non nul, on a :

2

2 2 2

2

2 2 2

1 1

2 2

2 1

1 1

3 1 3 3

n n n n

n n

⎛ − ⎞ −

⎜ ⎟

− = ⎝ ⎠=

+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ +

Comme 1₂

lim 0

n^→+∞n = , il vient : 1₂

lim 2 2 0 2

n^→+∞ n

⎛ − ⎞= − =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et 1₂

lim 3 3 0 3

n^→+∞ n

⎛ + ⎞= + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

D’où (rapport) :

2 2

2

2 1

2 1 2

lim lim

3 1 3 1 3

n n

n

→+∞ →+∞

− = − =

+ + .

De façon analogue, on montre que l’on a :

2 2

2 1 2

lim 3 1 3

n

→+∞ n

+ = + .

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure : 2 lim ⁿ 3

n u

→+∞ = .

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Pour déterminer la limite de la suite

( )

vn , on peut procéder comme précédemment (la présence de −5n au numérateur de la fraction ne change pas grand-chose …) ou remarquer que l’on a, pour tout entier naturel n :

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 5 1 2 1 5 5

3 1 3 1 3 1 3 1

n n

n n n n n

v u

n n n n

− + − + − − −

= = + = +

+ + + +

Puisque nous connaissons la limite de la suite

( )

un , il nous reste à déterminer celle de la suite

2

5

3 1

n n

⎛ − ⎞

⎜ + ⎟

⎝ ⎠.

Pour tout entier naturel n non nul, on a : ₂

2

2 2 2

5 5 5 1 5

1 1 1

3 1 3 3 3

n n

n n n

− = − = − = × −

+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ + .

On a classiquement : 1

lim 0

n^→+∞n = . On a également vu que l’on avait : 1₂

lim 3 3

n^→+∞ n

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ . On en

déduit (rapport) :

2

5 5

lim 3 1 3

n

→+∞

− =− +

puis (produit)

2

1 5 5

lim 0 0

1 3

n n 3

n

→+∞

⎛ ⎞

⎜ × − ⎟= ×− =

⎜ ⎟

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

.

Finalement : lim ₂⁵ 0

3 1

n

→+∞ n

− =

+ .

Il vient enfin (somme) : lim lim ₂⁵ ² 0 ²

3 1 3 3

n n

v u n

→+∞ →+∞ n

⎛ − ⎞

= ⎜⎝ + + ⎟⎠= + = .

lim lim 2

n n 3

n u n v

→+∞ = →+∞ =

Exercice N°2 (7 points)

On considère la suite

( )

un définie par :

0

2 1

1

, _n _n _n 1

u

n u ₊ u u

⎧⎪ = −

⎨∀ ∈ = + +

⎪⎩ `

1. On obtient facilement :

1 1

u = , u₂=3, u₃=13 et u₄=183.

2. Pour tout entier naturel n, on a :

2 2

1 1 1

n n n n n n

u ₊ −u =u +u + −u =u +

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On a : ∀ ∈n `,u_n²≥0 et donc u_n²+ ≥ >1 1 0. Finalement : ∀ ∈n `,u_n₊₁−u_n >0.

On a bien :

La suite

( )

un est strictement croissante.

3. Pour tout entier naturel n, on pose :

P

_n ^{: «}un≥ −n ¹ ».

Initialisation

Pour n=0, on a : u₀= −1 et n− = − = −1 0 1 1.

Comme − ≥ −1 1, on a u₀≥ −0 1 et on en déduit que

P

₀ est vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel quelconque fixé. On suppose

P

_N vraie, c'est-à-dire : u_N ≥ −N 1. On s’intéresse à

P

_N₊₁. On veut montrer : u_N₊1≥

(

N+ −1

)

1, soit u_N₊₁≥N.

On a : u_N ≥ −N 1 (hypothèse de récurrence) et donc : u_n²+u_N ≥u_n²+ −N 1, puis :

2 1 2

n N n

u +u + ≥u +N. Soit : u_N₊₁≥u_n²+N. Comme u_n²≥0, il vient : u_n²+N ≥N.

De u_N₊₁≥u_n²+N et u_n²+N≥N, on tire immédiatement : u_N₊₁≥N. La propriété

P

_N₊₁ est donc vraie.

Conclusion

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n.

, _n 1

n u n

∀ ∈` ≥ −

4. On a immédiatement ^lim

(

¹

)

n n

→+∞ − = +∞ et, en utilisant le résultat de la question précédente, le théorème de comparaison (minoration) nous permet de conclure : lim _n

n u

→+∞ = +∞. lim _n

n u

→+∞ = +∞

5. La valeur initiale de la variable N est 0, c’est le rang du premier terme de la suite

( )

un . La valeur initiale de la variable N est −1. C’est la valeur de u₀.

A partir de là, la boucle « Tant que » permet de calculer les termes suivant de la suite

( )

un tant que la valeur courante est inférieure ou égale à 100.

Dès que cette valeur est dépassée, la condition « U 100≤ » n’est plus satisfaite et on affiche la valeur courante de N.

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En d’autres termes :

L’algorithme affiche le rang du premier terme de la suite dont la valeur est strictement supérieure à 100.

D’après la première question, on a : u₃=13 et u₄ =183. Le terme u₄ est donc le premier terme de la suite dont la valeur est strictement supérieure à 100. L’algorithme fournira donc la valeur 4.

L’algorithme fournira la valeur 4.

Variables

N est un entier naturel U est un réel

A est un réel Début

N prend la valeur 0 U prend la valeur −1 Lire A

Tant que U≤A

U prend la valeur U2+ +U 1

N prend la valeur N 1+ Fin TantQue

Afficher N Fin

6. Dans cette question, A joue le rôle de

« 100 » dans l’algorithme initial.

Encore faut-il définir et attribuer une valeur à A !

Il convenait donc de déclarer A (en tant que réel à priori) et d’en demander la valeur à l’utilisateur (ligne « Lire A »).

Enfin, le test « U 100≤ » devait être remplacé par le test « U≤A ».

L’algorithme modifié (les

modifications apparaissent en rouge) est fourni ci-contre.