ANALYSE I et II Semaine du 17 au 21 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 5 du lundi 17 octobre 2011
Exercice 1.
Pour un r´eelα >0, ´etudier la convergence de
∞
X
n=1
αn
n8 en utilisant le crit`ere de la limite sup´erieure.
Exercice 2.
Soit (an)∞n=0 une suite de nombres r´eels positifs ou nuls. Montrer que la s´erie
∞
X
n=0
an 1 +n2an
converge.
Exercice 3.
Etudier la convergence de
∞
X
n=0
1
(2n+ 1)!+ (−1)n n2+n+ 1
.
Exercice 4 (* A r´ediger) .
Trouver les trois constantesα, β etµde sorte que pour tout entiern≥3:
n3
n! = α
(n−1)! + β
(n−2)! + µ (n−3)!. En d´eduire la somme de la s´erie:
∞
X
n=1
n3 n!.
Indication: On suppose connu le r´esultat que l’on verra plus tard:
∞
X
k=0
1 k! =e.
