ANALYSE I et II Semaine du 14 au 18 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 9 du lundi 14 novembre 2011
Exercice 1 (* A r´ediger) .
Soit une fonctionf :D⊂R→R. Montrer quef n’est pas lipschitzienne surD si et seulement si
∃(xn)∞n=0,(yn)∞n=0⊂D, tq|f(xn)−f(yn)|> n|xn−yn|,∀n∈N.
Exercice 2.
Calculer
x→lim
>1
n→∞lim lnn!
nx
.
Peut-on intervertir les deux limites?
Exercice 3.
Soienta < bet f : [a, b]→RavecR(f)⊂[a, b] une fonction lipschitzienne de constantek <1.
Montrer quef admet un unique point fixec dans [a, b] en utilisant la suite r´ecurrente (xn)∞n=0d´efinie par xn+1=f(xn) eta≤x0≤b.
Exercice 4 .
Soitf :R→Rune fonction continue enatelle que pour tout couple x, ydeR: f(x+y) =f(x) +f(y).
1.) Montrer que la fonctionf est continue partout.
2.) En d´eduire que pour tout x∈R:
f(x) =x f(1).
Indications:
Montrer quef(0) = 0 etf est continue enx= 0.
Montrer quef est continue partout, Montrer quef(n) =n f(1),∀n∈Z. Montrer quef(x) =x f(1),∀x∈Q.
