ANALYSE I et II Semaine du 21 au 25 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 10 du mercredi 23 novembre 2011
Exercice 1.
Soitα, β deux nombres positifs,f, g:R→Rdeux fonctions et soitx0∈R. On suppose que
f(x) =O |x−x0|α
six→x0 et g(x) =o |x−x0|β
six→x0.
a) Trouverγtel que f(x) +g(x) =O |x−x0|γ
six→x0, b) Trouverζtel que f(x) +g(x) =o |x−x0|ζ
six→x0.
Exercice 2.
On consid`eref : [0,1]→Rd´efinie par
f(x) =x3sin
1
x
, x∈]0,1], f(0) = 0.
Pour quel entier positifma-t-onf ∈Cm([0,1]) ?
Exercice 3.
Soitf :R→Rune fonction d´erivable et soita∈R. D´emontrer que si lim
x→6=af0(x) existe, alorsf0(a) = lim
x→6=af0(x).
Exercice 4.
Soita < b etf : [a, b]→Rune fonction de classeC1([a, b]), deux fois d´erivable sur ]a, b[.
D´emontrer qu’il existec∈]a, b[ tel que
f(b) =f(a) +f0(a)(b−a) +1
2f00(c)(b−a)2.
Exercice 5. Soitf :]0,∞[→Rune fonction d´erivable telle que
x→∞lim f0(x) =` >0.
Montrer que lim
x→∞f(x) =∞.
