ANALYSE I et II Semaine du 10 au 14 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 4 du lundi 10 octobre 2011
Exercice 1.
1.) Montrer que la suite (xn)∞n=0 donn´ee parx0= 0, xn= (−1)n
n , n >0 est de Cauchy.
2.) Montrer que la suite (xn)∞n=0 donn´ee parxn = (−1)n, n≥0 n’est pas de Cauchy.
3.) Montrer que la suite (xn)∞n=0 donn´ee r´ecursivement parxn+1 = xn+ 1
xn+ 2, n≥0, x0 = 1 est de Cauchy et calculer sa limite.
4.) On consid`ere la suite donn´ee par 8,8.8,8.88,8.888,8.8888, . . .. Est-ce que cette suite converge et, si oui, quelle est sa limite? Justifier votre r´eponse.
Exercice 2.
On consid`ere la suite (xn)∞n=0d´efinie par xn= sin
nπ 4
cos nπ
4
, n= 0,1,2, . . . . Calculer lim sup
n→∞
xn et lim inf
n→∞ xn.
Exercice 3.
On consid`ere la suite (xn)∞n=1d´efinie par xn= sin
1
n
,sinest pair,n >0, xn= cos
1
n
,sinest impair.
Calculer lim sup
n→∞
xn et lim inf
n→∞ xn.
Exercice 4.
Soitxn= √n
n, n= 1,2, . . . , et x0= 0. D´emontrer que lim
n→∞xn= 1.
Indication: D´emontrer que ∀δ >0, on a lim
n→∞
n
(1 +δ)n = 0 et conclure.
