ANALYSE I et II Semaine du 10 au 14 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 4 du mercredi 12 octobre 2011
Exercice 1.
On consid`ere la suite (xn)∞n=0donn´ee par
x0= 0, xq(q−1)
2 +p= p
q, pour 1≤p≤q, q= 1,2, . . ..
(1) ´Ecrire les 20 premiers termes de cette suite.
(2) Trouver tous les points d’accumulation de cette suite.
Exercice 2.
On dit quex∈Rest unpoint d’accumulationde la suite (xn)∞n=0si de celle-ci on peut extraire une sous-suite qui converge versx.
Soit (xn)∞n=0 une suite born´ee et d´esignons parE l’ensemble de ses points d’accumulation.
Montrer que
supE= lim sup
n→∞
xn.
Indications
1.) Montrer queE6=∅. 2.) Siα= supE, β= lim sup
n→∞
xn, montrer queβ ≤α.
3.) Soitλ∈E, limite de la sous-suite (xnj)∞j=0 de (xn)∞n=0; montrer queβ ≥λ.
