S´erie 2 du mercredi 28 septembre 2011

ANALYSE I et II Semaine du 26 au 30 septembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee

Prof. J. Rappaz

S´erie 2 du mercredi 28 septembre 2011

Exercice 1 (* A r´ediger) .

On posex_n=

√n²+ 2

2n , n= 1,2,3, . . .. 1^o) D´emontrer que

x_n−1 2

< 1

2n², n= 1,2,3, . . ..

Indication: utiliser, apr`es l’avoir d´emontr´ee, la relation√

1 +δ <1 +δ

2, ∀δ∈R^∗+. 2^o) En d´eduire que lim

n→∞x_n =1

2 en utilisant la d´efinition de la limite.

Exercice 2.

D´emontrer que si x_n est d´efini parx_n = sin(n), n∈N, alors la suite (x_n)^∞_n=0est divergente.

Indication: Faire la d´emonstration par l’absurde en utilisant les deux relations sin(n+ 2) = sin(n) + 2 sin(1) cos(n+ 1) et

cos(n+ 2) = cos(n)−2 sin(1) sin(n+ 1),∀n∈N.

Exercice 3.

Soit (x_n)^∞_n=1 une suite qui converge vers`∈R. D´emontrer que

n→+∞lim 1 n

n

X

k=1

xk

!

=`.

Indication: Commencer par montrer que∀n∈N^∗:

1 n

n

X

k=1

xk−`

≤ 1 n

n

X

k=1

|xk−`|.