ANALYSE I et II Semaine du 7 au 11 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 8 du mercredi 9 novembre 2011
Exercice 1.
D´eterminer si les fonctions suivantes sont ou non uniform´ement continues et justifier votre r´eponse.
1.) Soitm∈N∗. On d´efinit la fonctionf : [0,∞[→Rparf(x) =xm.
2.) Soitm∈N∗et α >0 un nombre r´eel. On d´efinit la fonctionf : [0, α[→Rparf(x) =xm. 3.) On d´efinit la fonctionf : [0,∞[→Rparf(x) =√
x.
Exercice 2.
Soitf : [0,∞[→Rune fonction uniform´ement continue. Montrer qu’il existe deux constantesαetβ telles que pour toutx∈[0,∞[:
|f(x)| ≤αx+β.
Indications:
1o) Montrer qu’il existe δ >0 tel que six, y∈[0,∞[,|x−y| ≤δalors|f(x)−f(y)| ≤1.
2o) V´erifier que|f(nδ)−f(0)| ≤n,∀n= 0,1, . . ..
3o) Montrer que |f(x)| ≤1 +m+|f(0)|avecm=x
δ
o`u [y] d´enote la partie enti`ere dey∈R.
Exercice 3.
Soita∈Ret f :]a,∞[→Rune fonction continue. On suppose que
x→lim
>af(x) =`1 et lim
x→∞f(x) =`2. Montrer quef est uniform´ement continue.
Exercice 4.
Soienta < bet f : [a, b]→RavecR(f)⊂[a, b] une fonction croissante.
1) Montrer quef admet un point fixe.
2) Que devient ce r´esultat sif est suppos´ee d´ecroissante?
Indication: Consid´erer l’ensembleE ={x∈[a, b] :f(x)≤x} et montrer queE 6=∅et que c = infE v´erifie f(c) =c.
