ANALYSE I et II Semaine du 24 au 28 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 6 du mercredi 26 octobre 2011
Exercice 1.
Soitf : R→R une fonction bijective et impaire. Montrer que sa fonction r´eciproque f−1 : R→R est aussi impaire.
Exercice 2.
Calculer lim
x→6=x0f(x), lim
x→>x0f(x) et lim
x→<x0f(x) dans les cas o`uf :D→Ret x0∈Rsont d´efinis par:
a) D=R− {−1,+1}, f(x) = x3−1
x2−1, x0= 1;
b) D=R− {−1,+1}, f(x) = x3−1
x2−1, x0=−1;
c) D=R, f(x) =xsix∈Q, f(x) = 0 six6∈Q, x0= 0;
d) D=R, f(x) =xsix∈Q, f(x) = 0 six6∈Q, x0= 1.
Exercice 3.
SoitA⊂Rle sous-ensemble deRd´efini par:
A= 1
kπ :k∈Z, k6= 0
, et soitf :R→Rla fonction donn´ee par:
f(x) =
0, six∈Q, 1, six∈A, xsin
1 x
six6∈(Q∪A).
a) Montrer quef admet une limite en tous les points deAet calculer la valeur de cette limite.
b) Est-ce quef admet une limite enx0= 0 ? Si oui, calculer cette limite; sinon, justifier votre r´eponse.
c) Trouver les points deRo`uf n’a pas de limite.
