ANALYSE I et II Semaine du 31 octobre au 4 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 7 du mercredi 2 novembre 2011
Exercice 1.
Soitf :D⊂R→Rune fonction d´efinie au voisinage dea∈R. On suppose quef a la propri´et´e suivante:
pour toutα∈R, il existe une suite (an)∞n=0⊂D telle que
an6=a, f(an)6=α, ∀n∈N et lim
n→∞an =a.
D´emontrer que s’il existe un nombre r´eel` et une fonctionδ:R∗+→R∗+ qui v´erifient pourx∈D 0<|x−a| ≤δ() ⇒ |f(x)−`| ≤,
alors n´ecessairement lim
→>0δ() = 0.
Indication: Supposer par l’absurde queδ() ne tend pas vers z´ero lorsquetend vers z´ero.
Exercice 2.
SoientI un intervalle etf :I→Rune fonction telle que pour tout tripletx≤y≤z deI:
(f(y)−f(x)) (f(y)−f(z))≤0.
Montrer quef est monotone.
Indications:
1o) D´emontrer la proposition en supposant queI= [a, b] o`ua, b∈R, a < b. On ´etudiera successivement les cas o`uf(a) =f(b), f(a)< f(b) etf(a)> f(b).
2o) D´emontrer la proposition en supposant queIest un intervalle quelconque. On supposera par l’absurde que si f n’est pas monotone sur I, alors il existe a1 < b1, a2 < b2, quatre ´el´ements de I, tels que f(a1)< f(b1) etf(a2)> f(b2).
Exercice 3.
SoitI=]0,∞[ etf :I→Rd´efinie parf(x) =xsin(1x). D´emontrer que f est uniform´ement continue surI.
