ANALYSE I et II Semaine du 31 octobre au 4 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 7 du lundi 31 octobre 2011
Exercice 1 (* A r´ediger) .
Soitf :D →Rune fonction d´efinie au voisinage de x0 ∈R. On suppose qu’il existeδ >0 tel quef ]x
0−δ,x0[
est croissante,f ]x
0,x0+δ[ est d´ecroissante, et de plusf ]x
0−δ,x0[∪]x0,x0+δ[ est born´ee.
D´emontrer que
x→lim
>x0f(x) et lim
x→<x0f(x) existent.
Exercice 2.
Pour quelles valeurs deα∈Rla limite:
x→lim
6=α
x4+αx3−8αx sin(α4−x4) existe-t-elle ? Calculer cette limite lorsqu’elle existe.
Exercice 3.
Soientf, g:R→Rdeux fonctions continues telles que pour toutx∈Q:f(x) =g(x). Montrer quef =g.
Exercice 4.
Pour quelles valeurs deα∈R, la limite
x→lim
6=α
x6−2αx5+ (α+ 1)x4 (x−α)tg(x−α) existe-t-elle ?
Indication: Utiliser la relation lim
x→6=0
tg(x) x = 1.
