Relèvements de formalités

(1)

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

DIDIERARNAL, NAJLADAHMENE

Relèvements de formalités

Tome XX, n^o1 (2011), p. 215-229.

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Article mis en ligne dans le cadre du

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pp. 215–229

Rel` evements de formalit´ es

Didier Arnal, Najla Dahmene⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— Nous étudions les notions de relevés formels de champs de tenseurs, d’opérateurs multidifférentiels, de formalités et de star produits deR^d^`â^{T R}^det d’une variétéM à son fibré tangentT M.

ABSTRACT.— We study the notion of formal lifts for polyvector ﬁelds, multidiﬀerential operators, formalities and star products fromR^d^to^TR^d

and from a manifoldMto its tangent bundleT M.

0. Introduction

Dans [K], M. Kontsevich a introduit la notion de formalité sur une variété M: c’est unL_∞-quasi-isomorphisme entre les algèbres de Lie différentielles graduéesTpoly(M) etDpoly(M). Il a montré l’existence d’une formalité sur toute variété et donné une construction explicite dans le cas deR^d.

Cependant, à part cette formalité explicite surR^d, on connaˆıt trés peu les propriétés des formalités elles même, en particulier on ne sait pas comparer deux formalités sur une même variété.

Dans cet article, aprés avoir généralisé les notions de relevés de [GU]

dans le cas de R^d, nous avons défini deux algèbres de Lie différentielles

(∗) Re¸cu le 16/02/2007, accept´e le 16/09/2010

(1) D. Arnal, Institut de Math´ematiques de Bourgogne, UMR CNRS 5584, Universit´e de Bourgogne, U.F.R. Sciences et Techniques B.P. 47870, F-21078 Dijon Cedex, France Didier.Arnal@u-bourgogne.fr

N. Dahmene, Département de Mathématiques, Unité de Recherche Physique Mathématique, Faculté des Sciences de Monastir, Avenue de l’environnement, 5019 Mona- stir, Tunisie

najla.dahmene@fsg.rnu.tn

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graduées T_poly,relev(TR^d) et D_poly,relev(TR^d) qui sont les relevés naturels deT_poly(R^d) etD_poly(R^d). La formalité de Kontsevich surR^dse relève alors en unL_∞-quasi-isomorphisme entreT_poly,relev(TR^d) etD_poly,relev(TR^d).

Nous donnons ensuite une condition qui doit être vérifiée par une for- malité G sur R^2d pour pouvoir étendre cette application en un L_∞-quasi- isomorphisme entre Tpoly,relev(TR^d) et Dpoly,relev(TR^d). Nous constatons que la formalité de Kontsevich surR^2d satisfait cette hypothèse et que son extension est le relevé de la formalité de Kontsevich surR^d. Nous montrons de plus que plusieurs formalités surR^2dpeuvent avoir la même extension à Tpoly,relev(TR^d). On applique ensuite ces résultats à la construction de star produits surTR^d.

Enfin, grâce à la notion d’application exponentielle formelle, nous pou- vons, par des méthodes similaires, relever une formalité sur une variétéM

`

a un voisinage de la section nulle du ﬁbr´e tangentT M.

1. Rel`evements verticauxet complets

SoitM une variété différentielle etπ:T M −→M le fibré tangent àM. On sait relever les fonctionsC^∞surM, resp. les champs de vecteurs, resp.

les tenseurs surT M des mani`eres suivantes :

1/ Pour toute fonctionf ∈C^∞(M), on définit deux fonctionsf^vetf^cdans C^∞(T M) appelées respectivement relevé vertical et relevé complet def en posant :

f^v=f◦π et f^c =df.

2/ A un champ de vecteursξ∈ X(M), on associe deux champs de vecteurs ξ^v etξ^c surT M appelés respectivement relevé vertical et relevé complet de X en posant :

ξ^vf^v= 0, ξ^vf^c= (ξf)^v ξ^cf^v= (ξf)^v, ξ^cf^c= (ξf)^c.

3/ Pour définir les relevés vertical et complet d’un tenseur α totalement antisymétrique surM, on posera, siα=ξ1∧ξ2∧. . .∧ξk,

α^v =ξ₁^v∧ξ₂^v∧. . .∧ξ_k^v et α^c= k j=1

ξ₁^v∧. . .∧ξ_j−1^v ∧ξ_j^c∧ξ_j+1^v ∧. . .∧ξ_k^v.

(4)

Prenons un système de coordonnées locales (x¹, . . . , x^d), centré au point x₀ de M. Notons (x¹, . . . , x^d, y¹, . . . , y^d) le système de coordonnées de T M canoniquement associé : un vecteur X tangent en x de coordonnées (x¹, . . . , x^d) àM s’écritX =_d

i=1y^{i ∂}_∂xi. Dans ces nouvelles coordonn´ees, on a alors :

f^v(x, y) =f(x), f^c(x, y) = d i=1

yⁱ∂f

∂xⁱ|x

et si ξ=_d

i=1ξⁱ(x)∂_xⁱ est un champ de vecteurs, alors on a ξ^v=

d i=1

ξⁱ(x) ∂

∂yⁱ, ξ^c= d i=1

ξⁱ(x) ∂

∂xⁱ + d i=1

_d

k=1

y^k∂ξⁱ

∂x^k|x

∂

∂yⁱ.

Remarquons que bien quef^vg^v= (f g)^v, on n’a pasf^cg^c= (f g)^c mais (f g)^c=f^cg^v+f^vg^c.

De même, bien qu’on ait (ξ∧η)^v=ξ^v∧η^v, on a par définition : (ξ∧η)^c=ξ^c∧η^v+ξ^v∧η^c.

Enfin on aξ^vf^v = 0,ξ^vf^c=ξ^cf^v= (ξf)^vetξ^cf^c = (ξf)^c. Ces relations sont des cas particuliers des relations générales suivantes sur le crochet [, ]S

de Schouten (cf [GU]) :

[α^v, β^v]S = 0, [α^v, β^c]S = [α^c, β^v]S = [α, β]^v_S et [α^c, β^c]S = [α, β]^c_S. Rappelons en effet que le crochet de Schouten de deux tenseurs est défini comme l’unique bidérivation qui prolonge le crochet des champs de vecteurs, c’est-à-dire :

[ξ, f]S= [f, ξ]S =ξf, [ξ, η]S = [ξ, η]

et

[ξ₁∧. . .∧ξ_n, η₁∧. . .∧η_m]_S= n i=1

m j=1

(−1)^i+j[ξ_i, η_j]∧ξ₁∧. . .ˆi . . .∧ξ_n∧η₁∧. . .ˆj . . .∧η_m. Il est `a remarquer que siαest un bivecteur de Poisson sur M alorsα^c en est aussi un surT M.

(5)

2. Rel`evements formels : cas deR^d

Pla¸cons nous dans le cas M = R^d muni des coordonnées globales (x¹, . . . , x^d). Alors l’espace total du fibré tangent π : TR^d −→ R^d est difféomorphe à R^2d, avec les coordonnées globales (x¹, . . . , x^d, y¹, . . . , y^d).

Les coordonnées d’un élément X de TR^d, vecteur tangent à R^d au point π(X), sont (x¹, . . . , x^d, y¹, . . . , y^d) si et seulement si celles de π(X) sont (x¹, . . . , x^d) etX =

iyⁱ∂_xⁱ|x.

Pour chaquexdeR^d, on a ainsi un diﬀ´eomorphisme Φ_x:T_xR^d R^d−→

R^d, donn´e par

Φx(y) = Φx

i

yⁱ∂_xⁱ|x

=x+y.

2.1. Rel`evement d’une fonction

Soitf une fonctionC^∞surR^d. Le d´eveloppement en s´erie de Taylor en 0 de la fonctionf◦Φx(f◦Φx(y) =f(x+y)) est donn´e par :

T ayl0(f◦Φx)(y) =f(x) + d i=1

∂_xⁱf(x)yⁱ+1 2

d i,j=1

∂²_xix^jf(x)yⁱy^j+. . .

On regarde ce d´eveloppement comme une s´erie formelle en posantdeg(y^j) = 1 pour toutj et deg(f(x)) = 0 pour toute fonctionf deC^∞(R^d).

Definition 2.1.1. — On appelle relevé formel de f ∈C^∞(R^d)la série formellef∈C^∞(R^d)[[y]] définie par :

f(x, y) =T ayl₀(f◦Φ_x)(y).

Remarquons que l’on af(x, y) =_∞

k=0

f(x, y) (k)

o`u

f(x, y) (k)

est le terme de degr´ekdans la s´erie formellef. On voit alors que :

f(x, y) (0)

=f^v(x, y),

f(x, y) (1)

=f^c(x, y).

Notons enfin F oncrelev(TR^d) l’espace des séries formelles fpour f ∈ C^∞(R^d), il est clair que cet espace est doté d’une structure d’algèbre associative .

(6)

2.2. Rel`evement formel d’un champ de vecteurs ou d’un tenseur Definition 2.2.1. — Soit ξ =

iξⁱ(x)∂_xⁱ un champ de vecteurs sur R^d. Le relevé formel deξest le champ de vecteurs formelξdéfini sur TR^d par :

ξ=1 2

i

ξⁱ(x, y) ∂_xⁱ+∂_yⁱ .

Dans cette définition, le facteur¹₂ assure la validité de l’égalité suivante : ξf=ξf .

On pose maintenant deg(∂_x^j) = 0 et deg(∂_y^j) = −1 (on a toujours deg(y^j) = 1). Alors, on aξ=_∞

k=−1ξ^(k) et on remarque que : ξ⁽⁻¹⁾= 1

2ξ^v et ξ⁽⁰⁾= 1 2ξ^c.

On noteXrelev(TR^d) l’espace des relev´es formelsξdes champsξ∈ X(R^d).

Definition 2.2.2. — Soit α =

αⁱ¹^...i^k∂_xⁱ1 ∧. . .∧∂_xik un k-tenseur sur R^d. On d´eﬁnit le k-tenseur

α= 1

2^k αⁱ¹^...i^k(∂_xⁱ1+∂_yⁱ1)∧. . .∧(∂_xik+∂_yik).

On dit queα est le relev´e formel deα.

Le tenseurαse décompose en une somme de termesα⁽⁾, homogènes de degré, avec−k. On a alors :

α^(−k)= 1

2^kα^v et α^(−k+1)= 1 2^kα^c.

On noteT_poly,relev(TR^d) l’espace des relev´es formelsαdes tenseursα∈ T_poly(R^d).

2.3. Relèvement d’un opérateur différentiel ou multidifférentiel Definition 2.3.1. — SoitD=

aⁱ¹^...i^m∂_x^mi1...xîm un opérateur différentiel sur R^d. On définit l’opérateur différentielD, relev´ e deD par :

D = aⁱ¹^...i^m∂_x^mi1...xîm où ∂_x^mi1...xîm = 1

2^m ∂_xⁱ1 +∂_yⁱ1

◦. . .◦ ∂_xim +∂_yim

.

(7)

(Ici ◦ est la composition usuelle des opérateurs différentiels.)

SiD=D₁⊗. . .⊗D_n est un opérateur multidifférentiel (lesD_j sont des opérateurs différentiels), le relevéD deD est

D =D₁⊗. . .⊗D_n.

On noteraDpoly,relev(TR^d) l’espace des relevésD des opérateurs multi- différentielsD∈Dpoly(R^d).

Rappelons qu’un opérateur différentiel a un ordre : dans chaque D_j, il y a des compositions d’au plus _j dérivations. On peut donc définir le degrédeg(D) du relev´ e d’un opérateur différentiel comme ci-dessus, grâce à deg(yⁱ) = 1,deg(∂_yⁱ) =−1. De mˆeme pour les opérateurs multidifférentiels deg(D1⊗. . .⊗Dn) =

deg(Di).

2.4. Propriétés des relèvements

A partir des définitions précédentes, on voit que l’application relévement formel est injective et on aura immédiatement :

•1/f .g=f g, pour toutf,g deC^∞(R^d),

•2/α∧β=α∧β, pour toutα,β deTpoly(R^d)

•3/D1⊗D2=D1⊗D2, pour toutD1,D2 deDpoly(R^d)

Rappelons queTpoly(R^d) et Dpoly(R^d) sont naturellement gradu´es par

|α|=k−1 siαest unk-tenseur et|D|=m−1 siD est un opérateurm- différentiel. Les relations ci-dessus permettent de doterTpoly,relevetDpoly,relev

d’une graduation d´eﬁnie par

|α| =|α| et |D| =|D|.

Cette graduation, avec deg(α) etdeg(D) qu’on a d´eﬁnis plus haut font de ces espaces des espaces gradu´es par Z².

Proposition 2.4.1. — On a aussi les propri´et´es suivantes :

• 4/ξf=ξf pour toutξdeX(R^d)et toutf deC^∞(R^d),

• 5/D( f₁, . . . ,f_m) =D(f₁, . . . , f _m), pour toutD deD_poly(R^d)et tout f₁, . . . , f_m deC^∞(R^d),

(8)

Preuve. — L’assertion (4) s’obtient facilement grˆace `a la relation∂_xif=

∂_yⁱf=∂_xⁱf.

La propriété (5) est une conséquence de (3) et(4) puisqu’on a ∂_x^mi1...xîm =

∂_xⁱ1 ◦. . .◦∂_xim.

Pour chaque variétéM, surTpoly(M) on a aussi la structure d’algèbre de Lie graduée donnée par le crochet de Schouten [, ]S. De même surDpoly(M) on a la structure définie par le crochet de Gerstenhaber [, ]G. Celui-ci est défini par :

[D₁, D₂]_G =D₁◦D₂−(−1)^|^D¹^||^D²^|D₂◦D₁, o`u la composition◦ est, si|D1|=m₁−1 et|D2|=m₂−1,

D1◦D2(f1, . . . , fm1+m2−1) =

m1

i=1

(−1)^(m²^−1)(i−1)D1(f1, . . . , f_i−1, D2(fi, . . . , fi+m2−1), fi+m2, . . . , fm1+m2−1).

Proposition 2.4.2. — Le relèvement préserve les crochets. C’est-à-dire :

• 6/ Pour toutα,β deT_poly(R^d), on a : α, β

S =[α, β]_S.

En particulier si α est un 2-tenseur de Poisson, α est aussi un 2- tenseur de Poisson (formel).

• 7/ Pour toutD₁,D₂ deD_poly(R^d), on a : D1,D2

G=[D1, D2]G.

Preuve. — Il suﬃt de montrer que pour des champs de vecteursX etY surR^don a :

X, Y

S =[X, Y]_S,en fait un calcul relatif au système de coor- données (x¹, . . . , x^d, y¹, . . . , y^d) surTR^dpermet de formuler immédiatement cette relation. La propriété (7) se déduit facilement de la formule :D1◦D2= D1◦D2qui est une conséquence immédiate de (5).

Remarque. — Siξetηsont par exemple des champs de vecteurs, on peut d´evelopper [ξ,η]S, on trouve successivement :

ξ,η ₍₋₂₎

S =

ξ⁽⁻¹⁾,η⁽⁻¹⁾

S =1

4[ξ^v, η^v] =[ξ, η]⁽⁻²⁾= 0,

(9)

et ξ,η

(−1)

S =

ξ⁽⁻¹⁾,η⁽⁰⁾

S+

ξ⁽⁰⁾,η⁽⁻¹⁾

S = 1

4[ξ^v, η^c] + 1 4[ξ^c, η^v]

=[ξ, η]⁽⁻¹⁾= 1 2[ξ, η]^v, relations déjà trouvées mais aussi :

ξ,η (0)

S =

ξ⁽⁰⁾,η⁽⁰⁾

S+

ξ⁽⁻¹⁾,η⁽¹⁾

S+

ξ⁽¹⁾,η⁽⁻¹⁾

S

= 1

4[ξ^c, η^c] +1 4

ξ^v, η⁽¹⁾1 4

ξ⁽¹⁾, η^v

=[ξ, η]⁽⁰⁾=1 2[ξ, η]^c, On trouve donc la nouvelle relation [ξ^v, η⁽¹⁾] + [ξ⁽¹⁾, η^v] = [ξ, η]^c.

Corollaire 2.4.3. —

• (1) L’espace T_poly,relev(TR^d), gradu´e par | | est une algèbre de Lie différentielle graduée lorsqu’on le munit de la différentielle nulle et du crochet de Schouten.

• (2) L’espace D_poly,relev(TR^d), gradu´e par | | est une algèbre de Lie différentielle graduée lorsqu’on le munit de la différentielled=−dH, si dH est l’opérateur de cobord de Hochschild et du crochet de Gerstenhaber.

3. Rel`evement d’une formalit´e deR^d

3.1. Rel`evement d’une formalit´e

Supposons maintenant qu’on ait une formalit´e F =

Fn, c’est-à-dire unL_∞ quasi isomorphisme entre T_poly(R^d) et D_poly(R^d) (voir [K] pour la définition de cette notion). Afin de releverF, on posera pour toutn1 :

Fn(α₁⊗. . .⊗α_n) =Fn(α₁⊗. . .⊗α_n).

Proposition 3.1.1. — L’application formelle F =

nFn est une for- malit´e entre Tpoly,relev(TR^d)etDpoly,relev(TR^d).

Preuve. — On ´ecrit l’équation vérifiée par la formalitéF puis on passe aux relevés. En tenant compte des propriétés du relèvement, on obtient l’équation de formalité pourF:

(10)

I∪J={1,...,n}

±[F_|I|(α_I),F_|J|(α_J)]_G

+

i=j

±F_n−1([α_i,α_j]⊗α₁⊗. . .⊗α˘_i⊗. . .⊗α˘_j⊗. . .⊗α_n) = 0.

3.2. Restriction d’une formalit´e surTR^d `a Tpoly,relev(TR^d)

A cette étape, il est intéressant de savoir si le relevé F de la formalité F surR^d, muni des coordonnées (x¹, . . . , x^d), “provient” d’une formalitéG surTR^d R^2d, muni des coordonnées (x¹, . . . , x^d, y¹, . . . , y^d).

Comme les espacesTpoly,relev(TR^d) etDpoly,relev(TR^d) sont des espaces de séries formelles, une formalitéG surTR^d ne s’étend pas nécessairement en une application entre ces deux espaces.

Nous dirons qu’une formalitéG surTR^d R^2d est polynomiale eny si pour chaquen-uple (α₁, . . . , α_n) de tenseurs à coefficients polynomiaux en y (i.e. αⁱ¹^...i^k ∈C^∞(R^d)[y¹, . . . , y^d] pour touti₁, . . . , i_k),G(α1⊗. . .⊗α_n) est un opérateur multidifférentiel à coefficients polynomiaux eny.

Pour une telle formalité, chaqueGn peut se décomposer en composantes Gn^(r) homogènes de degrér:

deg

G_n^(r)(α1⊗. . .⊗αn)

=r+

i

deg(αi).

Les espaces Tpoly,relev(TR^d) etDpoly,relev(TR^d) étant les complétés re- spectifs de l’espace des tenseurs polynomiaux en y, respectivement des opérateurs multidifférentiels polynomiaux eny, pour la topologiedeg-adique définie par le degrédeg, une formalitéG polynomiale en y définit une for- malitéGentreTpoly,relev(TR^d) etDpoly,relev(TR^d) si chaqueGn est continu c’est-à-dire si pour chaquen, il existeRn tel queGn^(r)= 0 sir < Rn.

Cette notion s’applique bien aux formalitésK^xetK^x,y définies explicite- ment par Kontsevich surR^d et R^2d dans [K].

Théorème 3.2.1. — La formalité de Kontsevich K^x,y surR^2d est poly- nomiale, elle est homogène de degré 0 et s’étend donc en une formalitéK^x,y entreT_poly,relev(TR^d)et D_poly,relev(TR^d).

De plus on a :

K^x,y =K^x.

(11)

Preuve. — Dans [K] on trouve la formule explicite de la formalit´e de Kont- sevich surR^d :

K^xn(α1, . . . , αn)(f1, . . . , fm) =

Γ∈Gn,m

wΓBΓ(α1, . . . , αn)(f1, . . . , fm).

Par définition des opérateurs BΓ et de l’application du relèvement on peut

´ ecrire :

K^xn(α₁, . . . ,α_n)(f₁, . . . ,f_m) =

Γ∈Gn,m

w_ΓB_Γ(α₁, . . . ,α_n)(f₁, . . . ,f_m)

=K^x,y(α1, . . . ,αn)(f1, . . . ,fm).

Cependant, même si le relevé d’une formalitéF sur R^d provient d’une formalité G sur R^2d, c’est-à-dire si on a F = G, cette derni` ere n’est pas unique. Les formalités de Kontsevich dans divers systèmes de coordonnées nous donnent un exemple de ce phénomène. Afin de procéder à des change- ments de variables, nous allons nous restreindre à des tenseurs polynomiaux et à des fonctions polynomiales.

Lemme 3.2.2. — La formalité de Kontsevich K^x,y est complètement déterminée par sa restriction aux tenseurs à coefficients polynomiaux et aux fonctions polynomiales.

Preuve. — FixonsR >0 etN ∈N. Soitf une fonctionC^∞ surR^2d de coordonn´ees (x, y). Il existe une suite (ϕ_p) de fonctions polynomiales en x et ytelle que

p→∞lim sup

(x,y)R

∂_j^r1...j^rϕp−∂_j^r1...j^rf= 0 ∀|r|N.

Calculons le termeK^x,y(α1⊗. . .⊗αn)(f1, . . . , fm). Cette quantité ne contient que des opérateurs différentiels d’ordre au plus 2n+m−2 à coefficients constants agissant sur les fonctions αⁱ_j¹^...i^k et fs. Si on approche ces fonctions par des fonctions polynômesaⁱ_j,p¹^...i^k etϕ_s,p uniformément sur B(0, R), on a donc :

p→∞lim K^x,y(a1,p⊗. . .⊗an,p)(ϕ1,p, . . . , ϕm,p) =K^x,y(α1⊗. . .⊗αn)(f1, . . . , fm) uniformément sur tout compact deTR^d. On peut donc se restreindre au cas de fonctionsfspolynomiales et de tenseurs αj à coefficients polynomiaux.

(12)

Eﬀectuons maintenant le changement de variables : uⁱ=xⁱ+yⁱ, vⁱ=xⁱ−yⁱ

2 . Ce changement de variables ´etant lin´eaire, on a ([K]) :

K^u,v=K^x,y.

Quand on se restreint aux relevés des tenseurs à coeffcients polynomiaux α_j et aux relevés des fonctions polynomiales f_s (dans les variablesxⁱ), on peut écrire cette formalité ainsi :

K^x,y_n (α1⊗. . .⊗αn) (f1, . . . ,fm)|(x,y)

=K_n^u,v(α1⊗. . .⊗αn)(f1, . . . ,fm)|_(u=x+y,v=¹₂_(x−y))

=K_n^u(α1⊗. . .⊗αn)(f1, . . . , fm)|(u=x+y).

En effet les fonctions αⁱ_j¹^...i^k et fs sont les fonctionsα_jⁱ¹^...i^k et fs calculées au pointu=x+y, les seules dérivations apparaissant dans cette expression sont de la forme

1

2 ∂_xⁱ+∂_yⁱ

=∂_uⁱ.

DoncK^x est le prolongement par continuité de la formalitéKû calculée sur les polynômes au point u=x+y.

Maintenant eﬀectuons un nouveau changement, non lin´eaire : u=x+y, w=ϕ(x−y

2 ).

Alors les deux formalitésK^x,y=Kû,vet Kû,w surR^2d sont différentes. Par exemple

Kû,v₂ (ξ, α)(f) =K₂û,w(ξ, α)(f)+termes en ∂_w^j(ϕ⁻¹)^k et ∂_w²iw^j(ϕ⁻¹)^k. Mais les restrictions de ces deux formalités à des tenseurs à coefficients polynomiaux enune contiennent pas de termes∂_vⁱ (ou ce qui est équivalent pas de termes∂_wⁱ). Ces restrictions co¨ıncident. On a donc :

Kû,v=Kû,w et Kû,v=Kû,w =K^x.

Proposition 3.2.3. — Les formalités Kû,v et Kû,w s’étendent toutes deux en la même formalité de Tpoly,relev(TR^d) dans Dpoly,relev(TR^d) bien qu’elles soient distinctes.

(13)

4. Rel`evement d’un produit star

Proposition 4.0.4. — Soient F une formalité et α un 2-tenseur de Poisson surR^d. Alors il existe un produit associatif+sur l’espaceF onc_relev(R^d) défini par :

f+g= ∞ n=0

ⁿ

n!Fn(α⊗. . .⊗α)( f ,g).

Preuve. — La formalit´e F permet d’associer au 2-tenseur de Poisson α un produit star + c’est-à-dire une déformation associative pilotée par {f, g}=df∧dg, α, donnée par :

f + g= ∞ n=0

ⁿ

n!Fn(α⊗. . .⊗α)(f, g).

Or on a : Fn(α⊗. . .⊗α)( f ,g) = Fn(α⊗. . .⊗α)(f, g). C’est-`a-dire f + g =f+ g. Donc l’associativit´e du produit+ r´esulte imm´ediatement de celle du produit+.

Proposition 4.0.5. — Soient K la formalit´e de Kontsevich et α un 2-tenseur de Poisson surR^d. Pour toutF etGdansC^∞(R^2d)on pose :

F+G= ∞ n=0

ⁿ

n!Kn(α⊗. . .⊗α)(F, G).

Alors+ est un produit star sur R^2d.

Preuve. — Grˆace à la proposition précédente on définit d’abord le produit associatif + sur l’espaceF oncrelev(R^d). Ensuite, on peut l’étendre en un produit sur l’espaceC^∞(R^2d) en vertu de la relation

K^x,y =K^u,v=K^x.

Il reste à vérifier qu’il est encore associatif surC^∞(R^2d). Il suffit de l’affirmer lorsque le bivecteur de Poissonαest à coefficients polynomiaux enxet les fonctionsF et Gsont polynomiales en (x, y) (ou en (u, v)). Dans ce cas on a α|(u,v)=α|u alors on peut écrire :

F+G|(u,v)= ∞ n=0

ⁿ

n!K^u_n(α⊗. . .⊗α)(F, G)|(u,v).

Pour conclure on utilise l’associativité du produit star défini par la formalité de KontsevichKû et dépendant du paramètrev.

(14)

5. Relèvement d’une formalité sur le fibré tangent

La construction d’une formalité relevée peut se généraliser au cas d’une variétéM en considèrant des applications exponentielles généralisées :

Definitions 5.0.1 (Applications exponentielles généralisées et formelles) 1/ SoientM une variété différentielle de dimensiond,Vun voisinage ouvert de la section nulle du fibré tangent T M et φ une application C^∞ de V dans M. On noteφ_x(y) l’image par φde (x, y)∈ V. On dit que φest une application exponentielle généralisée lorsqu’on a pour toutx∈M:

•φx(0) =x,

•dφ_x(0) =id.

2/ Deux applications exponentielles généraliséesφetψsont dites équivalentes lorsque pour tout x∈M, les dérivés partielles en0 deφx etψx co¨ıncident

`

a chaque ordre.

3/ Une classe d’équivalence d’une application exponentielle généralisée(ou encore son jet d’ordre infini eny= 0) est appel´ee application exponentielle formelle.

Remarques. — 1/ Si φ est une application exponentielle généralisée définie sur un ouvert V voisinage de la section nulle du fibré tangent T M, alors, pour toutx∈M, l’applicationφ_xest un difféomorphisme deT_xM∩V sur un ouvertU voisinage dex∈M.

2/ Soitx∈M, on désigne par Φx(y) le jet d’ordre infini en 0x deφxalors on peut écrire :

Φ_x(y) =x+y+1

2Φ⁽²⁾_x (y) + 1

3!Φ⁽³⁾_x (y) +. . .

où chaque Φ⁽ⁱ⁾x (y) est une série formelle eny à coefficientsC^∞enx.

5.1. Rel`evement via une application exponentielle formelle Soit Φ = [φ] une application exponentielle formelle surM.

1/ Pour toutxdeM, on peut définir la fonction image réciproque def ∈ C^∞(M) parφx. Il est clair que le développement en série de Taylor en 0 de la fonction y −→ f ◦φx(y) ne dépent pas du choix du représentant de Φ, on le note alorsfΦ(x;y) et on l’appelle relev´e formel def via l’application exponentielle formelle Φ.

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NotonsF onc_Φ(T M) l’espace des s´eries formellesf_Φ.

2/ Soit ξ un champ de vecteurs sur M. On peut construire sur un voisinage de 0x ∈ TxM ∩ V le champ de vecteur (φ⁻¹_x )_∗ξ. Le relev´e de ξ par l’application exponentielle formelle Φ est le champ de vecteurs formel ξΦ

défini par le développement de Taylor eny= 0 de (φ⁻¹_x )_∗ξ.

On noteXΦ(V) l’espace des relev´es formelsξΦ des champsξ∈ X(M).

Si on écrit dans un système de coordonnées localesξ=ξⁱ(x)∂_xⁱ alors on aura :

ξ_Φ=1

2ξⁱ_Φ(x, y)

(∂_xΦ(x;y))⁻¹ j

i∂_x^j +

(∂_yΦ(x;y))⁻¹ j

i∂_y^j

.

3/ Une construction analogue permet de définir le relevé d’un tenseurαsur M en posant :

αΦ=T ayly=0 (φ⁻¹_x )_∗α .

On note Tpoly,Φ(T M) l’espace des relev´es formels αΦ des tenseurs α ∈ Tpoly(M).

4/ SoitD un opérateurm-différentiel surM. On a par définition ((φ⁻¹_x )_∗D)(f1◦φx, . . . , fm◦φx) =D(f1, . . . , fm)◦φx.

On appelle relevé deDvia l’application exponentielle formelle Φ l’opérateur m-diff´erentielDΦ défini par :

D_Φ(f_1,Φ, . . . , f_m,Φ) = (D(f₁, . . . , f_m))_Φ.

On noteD_poly,Φ(T M) l’espace des relevésD_Φdes opérateurs multidifférentiels D∈Dpoly(M).

Remarque. — Si on prendM =R^d et Φx(y) =x+y alors on retrouve les notions et les espaces étudiés dans les paragraphes précédents.

Proposition 5.1.1. — On a les propri´et´es suivantes :

•f_Φ.g_Φ= (f g)_Φ, pour toutf,g ∈C^∞(M),

•ξΦfΦ= (ξf)Φ pour toutξ ∈ X(M)et toutf ∈C^∞(M),

•αΦ∧βΦ= (α∧β)Φ, pour tousα,β∈Tpoly(M)

•D1,Φ⊗D2,Φ= (D1⊗D2)Φ, pour toutD1,D2∈Dpoly(M)

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•[α_Φ, β_Φ]_S = ([α, β]_S)_Φ, pour tousα,β ∈T_poly(M),

•[D1,Φ, D2,Φ]_G= ([D1, D2]G)Φ,pour toutD1,D2∈Dpoly(M)

Preuve. — La premi`ere relation résulte du fait que le produit de deux développements de Taylor en 0 est le développement de Taylor en 0 du produit.

La deuxième relation s’appuie sur la définition ((φ⁻¹_x )_∗ξ)(f◦φ_x) = (ξf)◦φ_x. Toutes les autres relations s’en déduisent directement.

Ces propriétés permettent d’obtenir les résultats suivants :

Proposition 5.1.2. — Les espaces Tpoly,Φ(T M) et Dpoly,Φ(T M) sont des algèbres de Lie différentielles graduées.

Proposition 5.1.3 (Rel`evement d’une formalit´e). — Soit F = Fn

une formalit´e surM. Pour toutn1, on pose :

Fn,Φ(α1,Φ⊗. . .⊗αn,Φ) = (Fn(α1⊗. . .⊗αn))Φ.

L’application formelle FΦ=

nFn,Φ est une formalit´e entre Tpoly,Φ(T M) etD_poly,Φ(T M).

Preuve. — Il suffit d’´ecrire l’équation de formalité pourF surM puis le relever par Φ. On en déduit alors l’équation de formalité pourFΦ entre les

espaces T_poly,Φ(T M) et D_poly,Φ(T M).

Bibliographie

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