G222 Tirer des plans sur un cube [*** à la main]
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux des arêtes d’un cube ? Solution proposée par Nicolas Sigler
Nombre de plans distincts passant par 3 milieux des arêtes d'un cube : 81
En fait, il y a 220 (=12x11x10/1x2x3) combinaisons distinctes de 3 milieux d'arêtes d'un cube (puisqu'il y a 12 arêtes et donc 12 milieux), mais certaines donnent des plans non distincts.
Finalement il y a 7 types de plans [exemple donnés dans le cube (0,0,0), (0,2,0), (2,2,0), (2,0,0), (0,0,2), (0,2,2), (2,2,2), (2,0,2)]
- les 6 faces du cube (chaque face contient 4 milieux d'arêtes, et correspond donc à 4 combinaisons de 3 milieux ; ensemble, les 6 faces correspondent à 24 combinaisons de 3 milieux];
- 3 plans parallèles à une face, coupant le cube en 2 (ex : plan passant par (0,0,1), (0,2,1), (2,2,1), (2,0,1)) ; chacun de ces plan passe également par 4 milieux, et correspond donc à 4 combinaisons de 3 milieux ; ensemble, ces 3 plans correspondent donc 3x4 = 12
combinaisons de 3 milieux.
- 12 plans parallèles à une arête, et découpant chacun un "toit" (ex : plan passant par (1,0,0), (0,1,0), (1,0,2), (0,1,2)) ; chacun de ces plan passe également par 4 milieux, et correspond donc à 4 combinaisons de 3 milieux ; ensemble, ces 12 plans correspondent donc 12x4 = 48 combinaisons de 3 milieux.
- 4 plans inclinés, perpendiculaires aux diagonales du cube, et passant chacun par 6 milieux (ex : plan passant par (1,0,0), (0,1,0), (2,0,1), (0,2,1), (2,1,2), (1,2,2) ; chacun de ces plan passant par 6 milieux, correspond donc à 20 (=6x5x4/1x2x3) combinaisons de 3 milieux ; ensemble, ces 4 plans correspondent donc 4x20 = 80 combinaisons de 3 milieux.
Les trois autres types de plans ne passent chacun que par 3 milieux, et il y a donc autant de plans restants que de combianaisons restantes de 3 milieux :
- les 8 plans perpendiculaires aux diagonales, isolant chacun un sommet (ex : plan passant par (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ; correspondant à 8 combinaisons de 3 milieux ;
- les 24 plans passant par 2 points voisins d'une même face, et par le milieu de l'arête perpendiculaire à cette face, et la plus éloignée des 2 premiers points (ex : plan passant par (1,0,0), (0,1,0), (2,2,1) ; correspondant à 24 combinaisons de 3 milieux ;
- enfin, les 24 plans passant par 2 points opposés d'une même face, et par le milieu d'une des arêtes de la face opposée - arête non parallèle au segment que constituent les 2 premiers points - (ex : plan passant par (0,0,1), (1,2,0), (1,2,2) ; correspondant à 24 combinaisons de 3 milieux.
On a bien ainsi 6+3+12+4+8+24+24= 81 plans distincts, correspondant aux 24+12+48+80+8+24+24=220 combinaisons de 3 milieux d'arêtes possibles.
