E611-Les cubes de Langford junior
Solution
L’arrangement de Langford avec des paires de nombres entiers est un ordonnancement de la suite composée de 2n nombres : 1,1,2,2,3,3,….,n,n tel que chaque paire de nombres entiers k encadre exactement k nombres quel que soit k=1,2,…,n.
Pour déterminer les valeurs de n pour lesquelles de tels arrangements existent, désignons par p la position du premier nombre 1 (i.e. celui qui est à gauche). Alors 1 p +2 est la position du 1 second nombre 1 (i.e. celui qui est à droite).
Si p est la position du premier nombre 2, 2 p + 3 est la position du second nombre 2. De 2 manière générale, si p est la position du premier nombre k, alors k p + k + 1 est la position k du second nombre k.
En additionnant toutes les positions, on obtient l’équation :
2n 1) (2n ....
3 2 1 1)) n ( ....
3 (2 2p ....
2p
2p1 2 n .
D’où : 2(p1p2....pn)(n1)(n2)/21(2n)(2n1)/2p1p2....pn= n(3n-1)/4.
Le membre de gauche étant une somme d’entiers, on a donc n(3n-1) 0 modulo 4. Dès lors les valeurs de n qui donnent des arrangements de Langford sont de le forme
n = 4k-1 et n=4k
.Pour n compris entre 3 et 12, les seules valeurs de n qui donnent des arrangements de Langford sont donc 3,4,7,8,11 et 12.
Il n’y a pas d’algorithme simple qui permette d’établir ces arrangements. Pour les faibles valeurs de n, la méthode empirique est la plus adaptée. Pour les valeurs élevées de n, un ordinateur est indispensable comme le montre le recensement qui a été fait du nombre de solutions possibles (à l’exclusion des configurations symétriques):
Pour n = 4, il n’y a aucune difficulté à trouver l’arrangement correspondant.
A partir de n=7, la méthode la plus sûre consiste à inscrire d’abord les paires des nombres les plus élevés dans l’ordre décroissant en plaçant côte à côte les nombres de chaque paire situés à droite de la séquence :
n nombre de solutions
3 1
4 1
7 26
8 150
11 17 792
12 108 144
15 39 809 640
16 326 721 800
19 25 814 891 280 20 2 636 337 861 200
4 1 3 1 2 4 3 2
Avec cet arrangement, on observe que les nombres 7,6,5,4 de droite se succèdent dans l’ordre décroissant et les trous laissés vacants entre les nombres correspondants situés à gauche sont comblés par les 1 puis les 3 puis enfin les 2.
Même démarche pour obtenir un arrangement pour n=8 :
Toujours pour n=7 et 8, d’autres formes d’arrangements sont possibles tels que :
Pour n=11 et 12, la méthode déjà utilisée pour n=7 et 8 donne rapidement des arrangements possibles :
Avec des triplets, la première valeur de n pour laquelle un arrangement de Langford est possible est n=9. Aux symétries près, il n’y a que trois solutions distinctes. Les valeurs suivantes de n sont 10 (3 solutions également), 17 (13 440 solutions), 18 (54 947 solutions), 19 (249 280 solutions),….
Une solution parmi les trois existantes pour n=9 est la suivante :
Sources : John E. Miller- Langford’s Problem et Eric W. Weisstein – Langford’s Problem
2 3 7 2 6 3 5 1 4 1 7 6 5 4
2 3 8 2 7 3 6 1 5 1 4 8 7 6 5 4
7 3 6 2 5 3 2 4 7 6 5 1 4 1
8 3 7 2 6 3 2 4 5 8 7 6 4 1 5 1
2 3 4 2 11 3 10 4 9 5 8 1 7 1 6 5 11 10 9 8 7 6
2 3 4 2 12 3 11 4 10 5 9 1 8 1 7 5 6 12 11 10 9 8 7 6
1 9 1 6 1 8 2 5 7 2 6 9 2 5 8 4 7 6 3 5 4 9 3 8 7 4 3
