D30381. Arêtes tangentes
A quelles conditions existe-t-il une sphère tangente aux 6 arêtes d’un tétra- èdre ?
Solution
A chaque sommet correspond une longueur des tangentes menées de ce som- met à la sphère. La somme de ces quatre distances est la somme des lon- gueurs de deux arêtes opposées. Il est donc nécessaire que la somme de ces longueurs ne dépende pas de la paire d’arêtes choisie.
Cette condition est suffisante. En effet, elle entraîne que les cercles inscrits aux faces touchent l’arête commune à deux faces au même point :AB+AC− BC=AB+AD−BD, double de la distance deAau point de contact deAB avec les cercles inscrits aux trianglesABC etABD. Ceux-ci définissent une sphère (centrée à l’intersection de leurs axes) ; elle est tangente aux arêtes autres queCD; son intersection avec le plan ACD est un cercle tangent à AC et AD aux points de contact du cercle inscrit au triangle ACD : ces deux cercles sont confondus et la sphère est tangente à l’arête CD aussi.
