Problème G142 – Solution de Jean Drabbe
Nous traiterons le problème sous une forme générale en admettant un dé à un nombre quelconque de faces.
TERMINOLOGIE ET NOTATION - Nous appellerons n-suite toute suite de n + 1 naturels de l'intervalle [1,2, ... n] .
Les coefficients binomiaux r! / ((r-s)! s!) seront notés C(r,s) . L'indice de transition (IT) d'une n-suite s est la longueur de la plus grande sous-suite initiale strictement croissante de s .
UN CAS PARTICULIER – Lorsque n = 3 , il existe évidemment
81 n-suites. Elles peuvent être réparties de la manière suivante.
Les suites dont l' IT = 1 :
1 b c d b = 1 1 ≤ c,d ≤ 3 2 b c d 1 ≤ b ≤ 2 1 ≤ c,d ≤ 3 3 b c d 1 ≤ b ≤ 3 1 ≤ c,d ≤ 3 Leur nombre est (1 + 2 + 3) • 3^2
= (1•C(0,0) + 2•C(1,0) + 3•C(2,0)) • 3^2 = C(4,2) • 3^2
Les suites dont l' IT = 2 :
1 2 c d 1 ≤ c ≤ 2 1 ≤ d ≤ 3 1 3 c d 1 ≤ c ≤ 3 1 ≤ d ≤ 3 2 3 c d 1 ≤ c ≤ 3 1 ≤ d ≤ 3
Leur nombre est (2•C(1,1) + 3•C(2,1) ) • 3^1 = 2•C(4,3) • 3^1
Les suites dont l' IT = 3 :
1 2 3 d 1 ≤ d ≤ 3
Leur nombre est 3•C(2,2) • 3^0 = 3•C(4,4) • 3^0
Il existe donc exactement 2•C(4,3) • 3^1 3-suites dont l' IT est pair et la probabilité de choisir aléatoirement une 3-suite d' IT pair parmi les 81 3-suites est 24/81 = 8/27 = (2/3)^3 .
*
* * Proposition 1 : Pour r ≥ s ,
(r+1)• C(r,s-1) + s•C(r+1,s+1) = s• C(r+2,s+1) Vérification : aisée.
Il est alors très facile d'établir la proposition suivante.
Proposition 2 : Pour tout m tel que 1 ≤ m ≤ n , le nombre de n-suites d' IT = m est
(n•C(n-1,m-1) + m•C(n,m+1)) • n^(n-m) = m•C(n+1,m+1) • n^(n-m)
Proposition 3 : Pour r > s ,
r•C(r,s) – C(r,s+1) = s•C(r+1,s+1) Vérification : aisée.
RESULTAT GENERAL : Le nombre de n-suites d' IT pair est n • (n-1)^n et la probabilité de choisir aléatoirement une n-suite d' IT pair parmi les n^(n+1) n-suites est ((n-1)/n)^n .
Vérification : Partant du développement binomial de (n-1)^n , l'utilisation des propositions 3 et 2 permet un calcul rapide.
REMARQUE : Il est bien connu que la limite pour n tendant vers l'infini de ((n-1 )/n)^n est 1/e .
CONCLUSION : La parité GBP/EUR (actuellement [15-01-2010] voisine de 1.13) rend les mises fortement déséquilibrées :
La probabilité du gain de la partie par Puce est (2009/2010)^2010, valeur très proche de 1/e , et le rapport (1 – 1/e) / (1/e) = e-1 = 1.718 ...
