Solution
Le problème peut s’énoncer sous la forme :
quelle est le plus petit entier n tel que les termes de la séquence des entiers consécutifs n, n+1, n+2,….soient divisibles respectivement par les termes de la séquence des nombres impairs 3,5,7,9,11,13,15,…2k-1. ?
quelle est le plus petit entier n tel que les termes de la séquence des entiers consécutifs n, n+1, n+2,….soient divisibles respectivement par les termes de la séquence des nombres premiers 3,5,7,11,13,17,… ?
La première nuit, si l’on désigne par N la taille du troupeau avant l’arrivée des moutons retardataires, on a les quatre relations successives : N = 3a, N+1 = 5b, N+2 = 7c, N+3 = 9d avec N,a,b,c,d entiers >0
En multipliant respectivement par 5 et 3 les membres des 1 ère et 2 ème équations, puis par 7 et 5 les membres des 2 ème et 3 ème équations, on obtient le système très simple d’équations diophantiennes :
2N – 3 = 3.5.p = 5.7.q = 7.9.r avec p ,q, r entiers>0 et l’on voit que la taille minimale du troupeau sera obtenue à partir du P.P.C.M. de 3,5,7 et 9 qui est égal à P = 5.7.9 = 315. Dès lors p=21,q=9 et r=5 2N- 3 = P, soit N = (P + 3)/2 = 159. A la fin du rêve de Diophante, il y avait donc 162 moutons.
La deuxième nuit, on a p relations qui sont de la forme N+k = (2k+1)a k avec k=1,2,3,….p. On opère comme précédemment en multipliant successivement par (2k+3) et (2k+1) les kème et (k+1)ème relations et l’on obtient 2N – 3 = 3.5.p = 5.7.q = ………= (2k+1).(2k+3).b k =……..
= (2p+1).(2p+3).b p.
Si l’on désigne par P le P.P.C.M des nombres impairs successifs 3,5,7,9,11,13,…..(2p+3), le nombre initial de moutons est au minimum de (P+3)/2 qui devient (P+ 3)/2 + p après l’arrivée des moutons retardataires. D’où la séquence des effectifs minimaux du troupeau en fonction du nombre de moutons retardataires qui explosent très vite comme le montre le tableau ci-après :
La troisième nuit, on a le même type de relations mais cette fois-ci comme l’espacement des nombres premiers n’est pas régulier comme celui des nombres impairs, il n’y a pas de formule unique pour exprimer N en fonction du nombre de colonnes du troupeau et il faut faire les calculs pas à pas. Ceux-ci restent aisés à faire et grâce la méthode des congruences, tout peut être calculé manuellement.
Avec un seul mouton retardataire, on a N=2a et N+1=3b. On en déduit la formule générale N = 2.3.X + 2 = 6X + 2. L’effectif minimum est N=2 avant l’arrivée du mouton retardataire.
Avec deux moutons retardataires, on a N=6X +2 et N+2=5c N est de la forme N = 2.3.5.X + 8 = 30X + 8. L’effectif minimum est N=8 avant l’arrivée des deux moutons retardataires.
Avec trois moutons retardataires, on a N=30X + 8 et N+3 = 7c 30X + 11 = 7c. Or 30 º 2 modulo 7 et 11 = 4 modulo 7. La plus petite valeur x de X qui satisfait l’équation diophantienne 2x+ 4 = 7y est x=5. Il en résulte que l’effectif minimum est N = 30.5 + 8 = 158 avant l’arrivée des trois moutons retardataires et la formule générale est N = 2.3.5.7.X + 158 = 210X + 158
Avec quatre moutons retardataires, on a N = 210X + 158 et N +4 = 11d 210X + 162 = 11d. Or 210 = 1 modulo 11 et 162 = 8 modulo 11. La plus petite valeur x de X qui satisfait l’équation diophantienne x+ 8 = 11y est x=3. Il en résulte que l’effectif minimum est N = 210.3 + 158 = 788 avant l’arrivée des quatre moutons retardataires et la formule générale est N = 2.3.5.7.11.X + 788 = 2310X + 788
On poursuit les calculs de la même manière pour aboutir au tableau suivant qui donne les effectifs minimaux du troupeau avant l’arrivée des moutons retardataires:
Remarques sur le tableau : si k est le numéro du mouton retardataire, n(k) est le nombre de colonnes adopté par le troupeau à l’issue de son arrivée. On calcule les PPCM P(k) produits des nombres premiers de 2 à n(k) puis la colonne des r1(k) qui sont les restes de la division de P(k-1) par n(k) de telle sorte que P(k-1) = r1(k) modulo n(k).On calcule ensuite la colonne des r2(k) qui sont les restes de la division de N(k-1)+k par n(k) de telle sorte que N(k-1) +k = r2(k) modulo n(k). On cherche ensuite les plus petites valeurs des coefficients x tels que x*r1(k) + r2(k) soit divisible par n(k). Les effectifs minimaux des troupeaux sont alors donnés par la formule N(k)= x*P(k-1)+N(k-1).
Le résultat final avec 12 moutons retardataires est donc de 138 782 093 170 508 avant l’arrivée de ces moutons et de 138 782 093 170 520 après leur arrivée. On vérifie bien que la séquence des nombres entiers consécutifs
138 782 093 170 508, ..509, ..510, ..511, ..512, ..513, ..514, ..515, ..516, ..517, 518, ..519 et ..520 est divisible respectivement par 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 et 41.
