CONTRIBUTION A LA THEORIE DES NOMBRES PREMIERS.

293

CONTRIBUTION A LA THEORIE DES NOMBRES PREMIERS.

PAR

HELGE yon KOCII

~L STOCKHOLM.

Ce qui est peut-~tre le plus a t t r a y a n t dans la th6orie des nombres premiers, c'est le rapport profond qui existe entre ces nombres et les z6ros imaginaires de la fonetion ~(s) de RIEMAI~I~. Ce rapport, malgr6 t o u t l'int6r~t qu'il a excit6 depuis l'apparition du m6moire de RInMANN, n'est encore connu que tr~s incom- pl~tement.

Rappelons, en quelques roots, les r~sultats concernant la fonction num6rique

~(x) de TCHEBYCHEFF qui correspondent aux progr~s fairs dans l'6tude de la fonction ~(s).

D'aprbs RIEMAI~N, r6els

( s - - I ) ~(s) est une fonction enti~re poss6dant les z6ros - - 2 , - - 4 , - - 6 , . . .

et une infinit6 de z6ros imaginaires

off la partie r6elle satisfait ~ la condition

a < I .

Tant que le signe d'6galit6 dans cette formule n'6tait pas exelu on ne pou- vait pas aller plus loin que TCHEBYCHEFF. Tout cc qu'on savait c'~tait done que ~p (x! reste compris entre deux nombres fixes et que, si ~V(x) a une limite

X ~C

pour .~--o0, cette limite est = I.

2 9 4 Helge yon Koch.

Apr~s que M. HADAMARD a v a i t d6montr6, en i893, le t h 6 o r b m e f o n d a m e n t a l s u r la d 6 c o m p o s i t i o n de ~(s) en f a c t e u r s primaires et d~s que MM. DiE LA VALLI~E POUSSIN e t HADAMARD 6 t a l e n t p a r v e n u s , en ~896, a u r 6 s u l t a t

a < l , ces g6om6tres p u r e n t 6tablir le fait c a p i t a l

ou bien

lim ~ (x__) = x

X

( p ( x ) = x + x ~ ( x ) , lim (t(x) = o.

E t q u a n d M. DE LA VALL:EE POUSSI:N r6ussit, en i899, h t r o u v e r p o u r a une limite sup6rieure m o i n d r e que I , savoir ( p o u r t o u t z6ro Q = ct + i f i )

~ < I - - - - A

log fl (A = c o n s t a n t e positive) il p a r v i n t , darts le m~me t r a v a i l , s u n e limite sup6rieure p o u r la diff6rence

I~(z) I < K V i o g x e - g ~ ( K = e o n s t a n t e ) . C'est 1s le r 6 s u l t a t le p l u s pr6cis sur ~(x) o b t e n u j u s q u ' ~ pr6sent, si l'on ne s ' a p p u i e que sur les th6or~mes r i g o u r e u s e m e n t 6tablis relatifs ~ ~(s). Or RIE-

~ A ~ a consid6r6 c o m m e trbs p r o b a b l e la propri6t6 s u i v a n t e

E n a d m e t t a n t s e u l e m e n t

I

2 ( p o u r t o u s l e s z6ros Q).

o n p a r v i e n d r a i t , p a r u n e m 6 t h o d e q u e j'ai d o n n 6 e il y a q u e l q u e s ann6es, l'in6galit6

1

- - - - t - c

I~(x)l<Kx

2 (logx)~

qui, d a n s l ' h y p o t h ~ s e c = o c'est-h-dire a = - I 2

, se r 6 d u i t

1

~(~(x) [ < K x ~ (log x) ~.

Contribution h la th~orie des hombres premiers. 295 En somme, ~ chaque progr~s qu'on a fait ou qu'on fera dans la recherche d'une limite sup~rieure pour a correspond une diminution de la limite supdrieure de

Or, quel progr~s qu'on puisse faire dans cette direction, on n'arrivera jamais

1

s une limite sup~rieure pour [ t p ( x ) - - x [ essentiellement moindre que K x2(log x) ~.

I

E n effet, M. PHRAOM~N a d~montr5 que l'on a

1

[ t p ( x ) - - x [ > K x ~ - ~ ( K = constante, e > o),

~tant arbitrairement petit, pour une infinit6 de valeurs de x sup~rieures ~ un nombre quelconque donn~.

Done, pour arriver ~ une ~valuation plus exacte de tp(x) il faut ajouter ~ x des termes compl4mentaires. Lesquels~.

On se rappelle la formule sui~ante, d~montr~e par M. vo~ MANOOLDT:

off ~(x) dolt ~tre remplac~ par ~ ( x - - o ) + tp(x + o) pour un x off il y a discon-

2

tinuit~. C'est la formule pour ~p(x) correspondante h ]a c~16bre formule de RIE- MANN, d~montr~e ~galement par M. y o n MANOOLDT, pour la fonction ] ( x ) =

: ( 1 ) (,)

F ( x ) + - F x ~ + : F x ~ + . . . , off F ( x ) = n o m b r e des nombres p r e m i e r s ~ x .

2 3

La convergence de la serie

2 X 9

~tendue s t o u s l e s z~ros imaginaires e de ~(s), n'est ni absolue, ni uniforme.

Quand x s'approche d'une puissance enti~re d'un hombre premier, la convergence devient infiniment lente et mSme pour d'autres valeurs de x la s~rie converge tr~s lentement. I1 para~t que le calcul des termes correspondant s un certain nombre de zSros Q n'a aueune influence sensible sur la valeur cherch~e et l'on pouvait 8tre tent~ d'en conelure que la d~termination de t o u s l e s z~ros e in- f~rieurs, en valeur absolue, s un nombre donn~ R n'ait qu'une influence n~gli- geable pour l'~valuation de ~(x),

Cependant les r~sultats auxquels j'arrive dans le present travail montrent qu'il y a un rapport intime entre ]es nombres premiers inf~rieurs h x et les z~ros e de module moindre que x. Je trouve, par exemple, que pour ealculer

296 Helge yon Koch.

~p(x) avee une erreur moindre que

K x 1-~''(logx)

~ (o < !t < i , K ~ constante) il suffit de c o n n a l t r e eeux des z~ros ~ off le module de la partie imaginaire est

X tt .

L a d~monstration de ces r~sultats est bas~e sur une nouve]le expression de

X .o

(p(x) oh los termes - figurant dans la formule prSc~dente se t r o u v e n t rempla- Q

c4s par

F d6signant la fonetion Gamma ordinaire et s d6signant un p a r a m g t r e positif.

Aprgs avoir d~montr6 eette formule, nous l'appliquerons d ' a b o r d ~ l'~tude de la difference

I W ( x ) - - x l

et nous r e t r o u v e r o n s p a r 1s d'une mani~re rapide les r~su]tats a s y m t o t i q u e s re]a- tifs ~ tp(x) d4js connus et parviendrons en mSme temps s les completer sur certains points.

Dans le dernier num~ro nous aborderons cette question difficile h laquelte nous avons fait allusion, savoir la recherche des termes compl~mentaires qu'il faut a j o u t e r ~ x pour representer q~(x) avec une a p p r o x i m a t i o n voulue.

1. J e commence p a r rappeler quelques formules d~montr~es dans un m~- moire precedent (Aeta Mathematica, t. 24, p. I59 ).

D~signons p a r O(x) la somme des logarithmes n~periens de t o u s l e s nombres premiers qui ne surpassent pas x et d~finissons, avee TCHEBYCH~FF, la fonction

~(x) p a r l'~galit6

( (;)

(p(x) = O ( x ) + O x "~ + o + . . .

Mettons

(~)

~ ( x , s) = z ( ~ - -

e-(,,) )log p + p +

^...

8 $

oh les sommes s'6tendent b~ t o u s l e s hombres premiers

p = :2, 3 , 5 , 7 ' I I , . . .

Ici, et dans t o u t ce qui suit, x et s d~signent des nombres r~els positifs et s > i . La s~rie d~finissant

W(x, s)

converge absolument e t aussi uniform~ment par rap- p o r t ~ x dans chaque intervalle fini et par r a p p o r t h s dans l'intervalle

Contribution ~ la th6orie des nombres premiers. 297

i + e < 8 < + o 0

e 6 t a n t positif et a r b i t r a i r e m e n t petit.

I n t r o d u i s a n t la fonction

P(x, s, 0) = ~ i

' v ~ l

- - I ) ~ - - I Xv s

on o b t i e n t p o u r

T ( x , s)

la repr6sentation s u i v a n t e :

(2) ~ ( x , s) ---- (I - - log 2~) (I - - e - ~ ) +

P(x, s, --

I)

o ~

- - P ( x , s , 2 n ) - - 2 n ( I - - e - ~ )

-- 2 e [ P ( x , s, --q) + ~(I--e-:~)]

la derni~re somme s ' 6 t e n d a n t s t o u s l e s z6ros imaginaires Q de la fonction ~(s).

Les d e u x sdries f i g u r a n t d a n s (2) c o n v e r g e n t a b s o l u m e n t et u n i f o r m d m e n t p a r r a p p o r t s x d a n s t o u t intervalle fini.

Enfin, p o u r la fonetion

P(x, s, a)

on a ] e s formules s u i v a n t e s

(3) P(x, 8, 0) = x-~ fl y . - I

(I - -

e-W) dy

o

(4)

gg

P(x, s, 0)

_{= a (I}

I

_{- - e - ~ ) - -}

x - a f

_{- - '~ d s y}

~+~-1 - ~

_e

dy

o

(5) ^{P(x, s,}

a ) = ~ ( i - - e -~s) 8 X s e - - x s

. (s + 0)

83

. ( s + o)

X

9 x - ~ f y a

o

*2s-le-~f dy"

a v e c

2. N o u s allons t r a n s f o r m e r tes diff6rents termes de la formule (2).

P o u r

P(x, s , - - i )

on t r o u v e facilement, 1 p a r l'application de la formule (3):

P ( x , s , - - I ) = X - - I + 6

1 l o c . c i t . p . 172.

A e t a math~matica, 33. Imprim~ 1r 9 novembre 1909.

298 Helge yon Koch.

I~I<K ._x

₈

ee que n o u s 6erivons

(6)

P ( x , s, - - I) = X - - I + { x}

en e o n v e n a n t de d o n n e r g~nSralement a u symbole

{/(x,

s)} le sens s u i v a n t : ](x, s) 6rant u n e fonetion positive donn~e, {/(x, s)} est une fonction qui, p o u r des valeurs de x, s sup6rieures r e s p e e t i v e m e n t s certaines valeurs fixes Xo, So, reste inf6rieure, en v a l e u r absolue,

~, K . / ( x , s), K

6 t a n t une c o n s t a n t e (ind6pen- d a n t e de x et de s). ~

P o u r 6valuer u n t e r m e de la forme

[ i ]

- - P ( x , s ,

2n)--~(I--e -r

nous employons ]a formule (4) qui exprime ce t e r m e p a r l'int6grale

2-n Y~-le-~dY"

o

Posons, p o u r u n i n s t a n t ,

i ul

I(Y) = ~-n ~zl '

6erivons l'int~grale sous la forme

x 1--h l + h x

0 0 1--h l + h

h 6rant un n o m b r e positif < z. D a n s la premiere des int6grales s droite on a

d'ofi

o < = y < I - - h , e - - ~ < i ,

1 - - h 1 - - h

/ <~-nI /syS+'n--ldY ~ S + (~_~)2n (i _ h)s;

0 0

i D a n s t o u t ce q u i s u i t , K c o n s e r v e c e t t e s i g n i f i c a t i o n m a i s p o u r r a d i f f 6 r e r d e l ' u n e for- m u l e ~ l ' a u t r e .

Contribution h la th6orie des hombres premiers.

d a n s la troisi~me:

d'ot~ :

I + h < y < x , y,e---V'< (I + h)"e -(~+h)"

x

< s ( I + h)'e -(l+a)~. ^z (2n) 2;

l + h

dans la seconde on a

x - - h < y < x + h, l ( y ) = / ( i ) + ( y - - i ) f ( ~ )

7 / 2

^n--1

x - - h < v < : ~ + h , l y - - I I < z h , /'(,~)= x~"

et c o m m e

il v i e n t

l + h

f 8 yS--1 e--y s dy 1--h

e-(1-h)s_ s s

l + h

1--

I I e _ ( l + h ) S )

I~1 < ~ ~ (x --e-~l-~)' +

+ 2h(x + h)2'*-1 (e_~l_h), - e_(l+hl, )

~ 2 n

R e m a r q u a n t que

i - e-O-h)' < (x - - h)" < (z + h)" I I

e-(l+h)' < (x + h)' (: + h)" e-(l+h)' < (:E + h) ~' 6

299

et c o m b i n a n t les formules p r & 6 d o n t e s , il v i e n t

- - [ P ( x , s, 2 n ) - - s - - off

I I 2n x ~n + ^{u .}

300 Helge yon Koch.

l a , l < -(I + h) 2"" ( z n ) ~ + (i + h) 8 x ~-" ^{6 s} - ^{I 3 I}

Disposons enfin de h e n prenant

et remarquons qu'on a alors

h = l o g s

8

(i + h) ~ = s ( I + ~) t t e n d a n t vers z6ro avec ~; nous obtenons

I~,.l<A.l~

^{i +}

8

A 6rant ind6pendant de x, s, n .

P o u r s > I on a h < r ce qui m o n t r e que la somme ~ l ~ [ converge pour

rtml

x > 2 et reste inf6rieur ~ log s m~tipli6 par une constante. Nous obtenons donc s

finalement en rempla~ant

2 n ~

( i )

par sa v a l e u r - - { l o g i - - ~ :

2

Pour transformer les termes suivants qui d6pendent des z6ros ~, nous em- ployons la formule (5) et obtenons

I 8:vse - ~

P ( x , s, - - e) + -e( ~ - - e - ~ ) - Q(s--Q)

8 xS e--x s 8 X .o

r e ( s - - e )

J

+ - - - - r ^{8 X~ (} s y 2~-o-1 e - ~ d y

0

sxO f sye*-o - l e - c ' d y . sy2~O - ' e--C' d y + Q ( ~ Z ~)

x 0

Contribution ~t la thdorie des hombres premiers.

Dans la derni~re de ces intdgrales nous prenons

301

t ~ y 8

comme variable d'int~gration ce qui donne

/

sy2~--~ - x

e-"2dy --- tW-e-tdt /

^{a__ 0}

0 0

F a y a n t sa signification habituelle.

Pour dvaluer l'intdgrale

/ syS~-e --1 e--~ dy

gc

nous rappelons que la partie rdelle a de Q est comprise entre o et I: on a donc (pour x > i)

x x

= e - ' ( i + ~ ) . Par I~ et en r e m a r q u a n t que (pour 8 > 2 )

Is-el__>lel

et que

[xol<x

nous obtenons donc

ot~

9 0 ( : )

i(i_e

^{- ~ ) = F I - -} + • ( x , s , e )

P(x, s , - Q) + -Q -~

K

K dtant inddpondant de ~, s, Q.

Faisons la s o m m e par rapport ~ Q, nous aurons i

1 D'aprbs un thdorbme f o n d a m e n t a l de M. HADAMARD (Journal de Mathdmatiques, 1893) la sdrie Z o ~ I converge ddj~ pour v > I.

302 ttelge yon Koch.

I X 0 ,

(s, (.-:)

+ {SX s+l e--~

le d e r n i e r t e r m e t e n d a n t a v e c g r a n d e rapidit6 vers z6ro q u a n d x ou s a u g m e n t e . Dans ce qui suit, il n o u s suffit d e s a v o i r q u e ce t e r m e satisfait g l'in6galit~

K 6 t a n t u n e c o n s t a n t e .

C o m b i n a n t les f o r m u l e s (2), (6), (,7), (8) il v i e n t

(9)

W(x, 8) = x - - l o g 2 z - - -

.(.)

log

I - - ~

2

+{-+'o.'}..

Lo d e r n i e r t e r m e est ici, c o m m e on v o l t , inf6rieur g u n e c o n s t a n t e d~s q u e ' o n p r e n d 8 > x.

3. D ' a u t r e p a r t la f o n c t i o n

T(x, ,)

p e a t s ' e x p r i m e r sous la f o r m e s u i v a n t e 1

0

Soit h u n n o m b r e positif < i e t 6crivons c e t t e int6grale sous la f o r m e

x 1--h l + h

0 0 1--h l + h

On a t o u j o u r s , d'apr~s u n l e m m e de M. MERTE~S 2

il v i e n t d o n c

1 V o i r p. 485 de m e n a r t i c l e : S u r u n t h 6 e r ~ m e c o n c e r n a n t les n o m b r e s p r e m i e r s . A r k i v f 6 r m a t e m a t i k , a s t r o n o m i o c h f y s i k , Bd. I. S t o c k h o h n I9o4.

J o u r n a l ffir die r e i n e u n d a n g e w a n d t e M a t h e m a t i k , Bd. 78.

(i2)

et

Contribution /~ la th~orie des nombres premiers.

1--h 1--h 1--h

f< 2 f,v.- ,-cav < 2 fsv.-,d,

0 0 0

= z z - - - - - 8 ( i - - h ) ~ - ' 8 - - I

l + h l + h l + h

(13) < 4 x. ^{8 I}

s + I ( I + h ) "+1"

303

l + h

P o u r calculer l'int6grale f nous d6signons par ~(x) une fonction ainsi d6finie: quand x n'est pas 6gal ~ la puissance p~ d'un nombre premier p, on a (p(x) = tp(x); quand

entre les limites ee qu'on peut 6erire

a l l eontraire x ~ p~., ~ ( x ) d6signe une valeur ind6termin6e

~v(x-- o) et vz(x + o) = Vz(x) tp(x) -- ~V(x) - - t log x

( o < t < ~ )

D'apr6s cette limites

d6finition, il est clair que route valeur comprise entre les

peut s'6crire sous la forme tp(~), ~ 6rant compris entre les limites

X X

i + h et I - - h On a done, d'apr6s le th6or6me de la moyenne,

(~4)

l + h l + h

= ~ ( ~ ) +

304 off

Helge yon Koch.

l ') I < ~(~) (1 - - e-(~-'o" + e-.+'o')

< ~ (1 --h)" + (i-~

4 X I

~ 9 ~

I - - h (I + h ) '

Le nombre ~ qui figure dans cette formule jouit d'une propri~t6 impor- t a n t e dans la suite: quand ~ augmente d'une mani6re continue ~ augmente aussi d'une mani~re continue ou reste stationnaire et pour x = ~ on a ~ = ~ .

C'est ee qu'on voit en r e m a r q u a n t que, pour toute valeur donn6e de y, va en a u g m e n t a n t avee x ou reste stationnaire jusqu'h ce q u e ~ passe par une valeur p~ off p = n o m b r e premier et Z = n o m b r e positif entier ) e t que, par suite, l'int6grale

l + h

1 - - h

laugmente avec x (ou reste stationnaire) et finit par d6passer une limite donn6e queleonque; d'apr~s l'6galit6 (14) il en est donc de m6me de ~p(~) ce qui, vu la d6finition de ~, a m i n e la propri6t~ 6none6e de ~.

Disposons enfin de h e n p r e n a n t

8 ,9

et eombinons les formules (lO)--(14); nous aurons, apr6s un petit caleul analogue

~t celui d u n o 2,

{:}

(15) v,(x, s) = ,p(~) +

X X

1+h<~<1_--- ~.

La comparaison des formules (9) et (15) donne

I (

(16) ~ ( ~ ' ) ~ x - - l ~ 1 7 6 I - - ~ o ~ e

Contribution A la thfiorie des nombres premiers.

+ t l~ x + { x + l~

x x ( h _ log s}

i ~-~--h < ~ < i ~ 8

o < t < z .

305

4. E n r e m a r q u a n t que

i - - h s '

on o b t i e n t de la formule (16) l'in6galit6 s u i v a n t e

I t, )l

ix__~[< 2 h x

X < z + h , h = l ~

8

+ / l ~ 1 7 6 s

et on voit done que l'6valuation de l'ordre de g r a n d e u r de la diff6renee

~v(~)-~

se ramSne ~ eelle do la s6rie f i g u r a n t a u second m e m b r e de eette in~galit~.

P o s a n t

Q = a + i l:~

nous savons que a est compris e n t r e o e t 1 ee qui nous p e r m e t d ' a p p l i q u e r l'expression F ( I - - ~ ) une formule de M. PI•ertERLE c o n c e r n a n t la fonction F . 1 Nous obtenons (pour s > 1)

a 1 l - - s - - ~

K 6 t a n t i n d 6 p e n d a n t de Q et de s, e t de

1~, a lortiori,

oh k = -~ - - ~ et ~ u n n o m b r e positif a r b i t r a i r e m e n t petit.

2

' R e n d i c o n t i d. R. Ace. d. L i n c e i . Bd 4, P. 694.

d e r G a m m a f u n k t i o n , w 38; L e i p z i g , T e u b n e r , z9o6 ).

A c t a mathema~ica. 33. Imprim~ le 9 novembre 1909.

I888. (NZELSE.~', H a n d b u c h d e r T h e o r i e

39

306 Helgo yon Koch.

C o m m e

off K , est u n e c o n s t a n t e , nous o b t e n o n s donc, d ' a p r ~ s ( i 8 ) :

.0,

+

la s o m m a t i o n p o u v a n t ici 6tre b o r n d e h t o u s l e s z6ros e---a + ifl off fl > o (puis- que les e s o n t conjugu6es d e u x g d e u x ) .

5. V o y o n s d ' a b o r d ~ quelle c o n s 6 q u e n c e c o n d u i t c e t t e f o r m u l e si n o u s nous a p p u y o n s sur l'in~galit6 f o n d a m e n t a l e

(20) a < I

d 6 m o n t r 6 e p a r M. HADAMARD x et p a r M. DE LA VALL~ POUSS]:N. ~

D o n n o n s ~ s u n e v a l e u r fixe q u e l c o n q u e > i e t raisons t e n d r e x vers l'in- fini. C o m m e

X a - 1 < I

e t q u e la s4rie & t e r m e s c o n s t a n t s

I k~

f l > o

est c o n v e r g e n t e on o b t i e n t la v a l e u r limite de la s6rie X,a__. 1 kfl

e-- ~ -

p o u r x = r en y m e t t a n t x = ~ d a n s c h a c u n des termes, ce qui, en v e r t u de (2o), m o n t r e q u e c e t t e limite est 6gale & z6ro. D ' a p r ~ s les propri~t6s de 5 d 6 m o n t r 6 e s plus h a u t , n o u s o b t e n o n s d o n e

Or e p o u v a n t ~tre choisi aussi g r a n d q u ' o n lc v e u t , il cn rgsulte

1 B u l l . d e la Soc. M a t h . d e F r a n c e , I896.

g A n n . d e la Soc. sc. d e B r u x e l l e s , I896.

Contribution g la thr des nombres premiers.

l i m ~ v ( ~ ) - - ~ o .

3 0 7

On sait q u e ce r 6 s u l t a t f o n d a m e n t a l qui a cofit6 de tr~s g r a n d s efforts est dfi k MM. I~ADAMARD et DE LA VALL1~E POUSSIN qui F o n t d 6 m o n t r 6 p r e s q u e s i m u l t a n 6 m e n t et i n d 6 p e n d a m m a n t l ' u n de l ' a u t r e . L e u r s d 6 m o n s t r a t i o n s s o n t bas6es sur Ies propri6t6s de ~(s), t r o u v 6 e s a u p a r a v a n t p a r M. HADAMARD d a n s son m6moire c61~bre de ~893 et sur les p r o p r i 6 t 6 s de certaines int6grales e n t r e des limites imaginaires a n a l o g u e s a u f a e t e u r de diseontinuit6 de DIRmHLET. ~

L~ d 6 m o n s t r a t i o n que nous a v o n s t r o u v 6 plus h a u t est bas6e aussi s u r les th6or~mes de M. HADAMARD relatifs h la f o n c t i o n ~(s) mais n'exige, p o u r le reste, que la c o n n a i s s a n c e des principes les plus 616mentaires d u calcul int6gral.

6. On d o i t k M. de la VALLI~,E POVSSlN ~ d'&voir t r o u v 6 , p o u r la p r e m i e r e fois, u n e limite inf6rieure > o p o u r ]a diff6rence i - - a . D ' a p r ~ s le t h 6 o r ~ m e de ce g 6 o m b t r e on a, e n t r e les p a r t i e s r6elles et imaginaires d ' u n e racine o = a + it?

de ~(s) la f o r m u l e

P

( 2 I ) I - - a > log ~ - - log n

( : p = 0 , 0 3 4 6 6 9 9 . 3, 9~, = 47,886...) p o u r /3>7o5 et

I - - Ct ~ 0,o~28 p o u r o < t? < 705.

P o u r a p p l i q u e r ee r 6 s u l t a t k nos formules, p a r t a g e o n s la s o m m e p a r r a p - p o r t k 1t en d e u x parties de la mani~re s u i v a n t e :

Xa__ 1 k ~

~7 :> 0 705:>~=~0 fl__~705

et o c c u p o n s n o u s d ' a b o r d de la d e u x i ~ m e s o m m e qui est 6 t e n d u e k t o u s les Q off ~ > 7 o 5 .

M. LANDAU a donn6 (Mathem. Annalen Bd 56) une d6monstration du m~me th6or6me qui Re suppose connues que les propri6t~s les plus dMmentaires de la fonction ~(s) (en particu- lier, on ne s'appuie pas sur les th6or~mes de M, HADXMAaD). Cette d~monstration op~re aussi avee des int6grales entre des limites imaginaires. Tout r6cemment, M. LA.~DAV a simplifi6 notablelnent cette d~monstration (Sitzungsberichte d. K. Preuss. Ak. d. Wiss. t. 36, p. 746; Ber- lin I9o8 ) .

M6m. couronn6s et autres m6m. publi~s par l'Acad6mie royale de Belgique, t. 59; 1899.

8 .~I. LANDAU vient de remplaeer ce nombre par une valeur un peu plus grande, savoir

1) = o,o376... Voir Rendiconti del Circolo math. di Palermo, t. 26, p. 25o. (I9o8).

308 Helge "con Koch.

D e la f o r m u l e (21) r6sulte, d ' a p r ~ s M. de la VALI.~E POUSSI~ ~

ce qui n o u s d o n n e

fl

- ~ e s <Ke-2t/plog~ 2 e - ~ "

et n o u s s o m m e s ainsi c o n d u i t & c h e r c h e r u n e e x p r e s s i o n de la s6rie kfl

(23) 2 e - X - "

D ' a p r 6 s un t h d o r 6 m e de M. v o N .-~[ANGOLDT, 2 on p e u t e x p r i m e r le n o m b r e des z6ros ~ = c, + ii~? off o < t~ ~ T p a r la f o r m u l e

T T T ) .

(24) ~ log + { log T

2~'V 2:r/:

I1 en r 6 s u l t e q u e le n o m b r e des z6ros off ~3 est c o m p r i s e n t r e d e u x e n t i e r s suceessifs m e t m + x est inf6rieur h,

K 6 t a n t u n e c o n s t a n t e p o s i t i v e . 3 la s o m m e (23)

d ' o f i

K log m

On a d o n c p o u r la p a r t i o c o r r e s p o n d a n t e de

k3 k m

~ e " < K l o g m . e "

m ~ , 7 ~ m + l

k? ~ km

e - ; - < K log m . e

~ B m --/3

B 6 r a n t u n e n t i e r p o s i t i f q u e l c o n q u e . L a f o n c t i o n

_ ~ v log y . e 8

est c r o i s s a n t e q u a n d y v a r i e de x /~ la v a l e u r Y0 d~finie p a r l'6galit6

i n:o 35 du m6m. cit6 p. 307 9

Mathematische Annalen, Bd 60; i9o ~.

s Dans les formules qui suivent, K d6signe toujours une constante mais peut diff6rer de l'une formule '~ l'autre.

Contribution /~ la th~orie des nombres premiers. 309

8

Yo log Yo =-/c

e t puis d6croissante q u a n d y v a r i e de Y0 j u s q u ' h l'infini.

Choisissons u n n o m b r e k~ e n t r e i et k et d6signons p a r yt le h o m b r e s a t i s f a i s a n t ~ l'6galit6

8

Y l l ~ kl "

k t y

L a f o n c t i o n log y . e ~ a y a n t son m a x i m u m p o u r y = y ~ on p o u r r a 6crire log m . e - ~ = log n,,. e - - -

m - B m - - B

k l m k--kl

- - - f i g

8 . ~ 8

< log y, . e e - s - m

m . ~ B

oo kl yt I k--k~ B ..'" k--kt

I

- - s Y - - I

< l o g y , e ~ e ~ + e a y !

k,u,( k--k,B S 1~ k'B)

= l o g y ~ e 8 e s + k --kt e - - - ~

= l o g y l . e ~- i +

( 1)

d'ofl en r e m a r q u a n t quo Y l < s p o u r s > e k' :

k3

(25) ~ e * < K t s l o g s ( K t - - c o n s t a n t e ) .

Comme d ' a u t r e p a r t

( 2 6 )

x a _ 1 k~ g

705>fl>0

n o u s o b t e n o n s enfin, en c o m b i n a n t ( 2 2 ) , ( 2 5 ) , ( 2 6 ) :

(27)

et, d'apr~s (z9),

x a _ 1 . kfl

7 - e ~ < K e -21//~-l~ . 8 log s

3=>0

310

d'ofl (28)

Helge yon Koch.

D a n s e e t t e f o r m u l e il suffit de p r e n d r e s = e 1/i~l~

p o u r o b t e n i r la formule s u i v a n t e

~',

( x ) - - x

(29)

_x

rVp~

log x . e - V b ~ ~ ~ ^I

qui n ' e s t a u t r e que celle de M. DE LA VALLEE POUSSIN. ~

De l~ on o b t i e n t facilement, en s ' a p p u y a n t sur la r e l a t i o n c o n n u e e n t r e

~ ( x ) et la f o n c t i o n

F(x)

qui e x p r i m e le n o m b r e des n o m b r e s p r e m i e r s ne d6pas- s a n t pas x, u n e f o r m u l a c o r r e s p o n d a n t e p o u r la diff6renee e n t r e

F(x)

et le loga- r i t h m e int6gral

Li(x):

I

C'est le edlbbre t h 6 o r g m e de ~[. DE LA VALL~E P o v s s I ~ , ~" qui e o m m e on sait, e o n s t i t u e le r 6 s u l t a t a s y m p t o t i q u e le plus prdeis o b t e n u jusqu'~ p r 6 s e n t e o n e e r n a n t

F(x),

si l'on fair a b s t r a c t i o n des r6sultats bas6s sur le t h 6 o r ~ m e h y p o t h 6 t i q u e R~ = x .

2

7. D ' a p r 6 s la f o r m u l e (4) nous p o u v o n s , d a n s la f o r m u l e (z), r e m p l a c e r le t e r m e

P(x, s, --~)

p a r l ' e x p r e s s i o n s u i v a n t e

ce qui nous d o n n e

f x .

- - ( i - - e - ~ ) + yy'-le-Y dy

0

~g(x,

s) --- - - l o g z sT. (I

-- e -~) + I s - y"-le-~dy J Y

0

~ M d m . c i t e , n : o ~ .

z Mdm eit6, n:o 67.

Contribution ~ la th~orie des nombres premiers. 311

- - P ( x , s ,

2 n ) - - ~

n - - 1

- - 2 o [ P ( x , s, --@) -b I - ( I - - e - ~ ) ] 9 Q

Comparant cette expression de

T(x, s)

avec eelle fournie par la formule (Io) il vient

~g

y - - y Y ' - a e ' ~ d y = - - l ~ --~o.

0 n - - 1

les signes ~ et 2 0 d6signant, pour abr6ger, les m6mes sommes que dans la formule pr6c6dente.

Nous savons (n o 2) que ~ reste inf6rieure h une constante en valeur abso-

n - - 1

lue; donc, si nous posons, pour abr6ger

il vient

(3o)

S

x)

. . . . , - r = ( s } .

s ~ x

Y y e dy

0

D6signons maintenant par co(x) une fonction positive de la variable positive x remp]issant les conditions suivantes: ~ partir d'une certaine valeur

x = x o > I

la fonction ~o(x) est toujours d6eroissante et la fonction

xa,(x)toujours

erois- sante et l'on a

(30 I r x] < x,o(x).

I1 existe effeetivement de telles fonctions, par exemple

~o(x) = K Vp

log x. e-Vp log x (K = constante convenablement choisie).

Ecrivons le premier membre de (30) sous la forme

x

x 1 - - h 1 + It xo x

0 l - - h l + h x

XO

h 6tant un nombre positif < x dont nous allons disposer.

Xo

312 Helge yon Koch.

On a alors, d u m o i n s p o u r x > x0, s > z

1 - - h 1 - - h

0 0

<XtO

1--h

0

X ) 8 __ h ) s _ 1

=x~o ~ , T__-i(I

< 2 x~o (x) (~ - - h)=-'

=o ) ~

"l l y._,._..d,

< xco(x)e-"+h) =

x,,(x)

(~ + h)*

x o x

z o Zo

(=).,

< K e - ~ < K ( K = e o n s t a n t e )

et, x 1 d 6 s i g n a n t u n e c e r t a i n e v a l e u r c o m p r i s e e n t r e les limites

X X

- - e t - - I + h i - - h

et v-p c o n s e r v a n t la m f m e signification q u e plus h a u t (n o 3):

l + h 1 + h

1 - - h 1 - - h

dy

= ( ~ ( . , ) - - ~ , ) (e-,~-h)" - - e - ( , + h , =)

= : 4 , ( x , ) - - z , + ,)

Contribution i~ la th6orie des hombres premiers. 313 off

I~1 < [ ~ ( x , ) -

x~ I(~

- e-Cl-h,~ +

e-.+h,~)

2 2 x, to (x,)

<1~(~,)-~,1.(~ +h),< (~ + h).

< 2 - ~ - ~ h ( . (~ + h ) "

2 xto (z)

< ( I - - ~ ) ( I ~ s+ h) "

L a combinaison de t o u t e s ces formules c o n d u i t /~ la s u i v a n t e : xto(x) [

(32) ~ ( x , ) - x , = s + (~ + ~ ' /

#

valable, nous le repetons, p o u r uric certaine v a l e u r z, e n t r e ~ e t - - ' i - - h Combinons d ' a b o r d cette formule avec le th6or~me a s y m t o t i q u e (29) de M.

x)~. LA VALL~E POUSSlN. Cela r e v i e n t h m e t t r e to(x) = K V p log x e-Vp~gi-*

et h se rappeler que, d ' a p r g s n o 6, on a

5t < K s log s . xe-*Vpl~ ~.

Nous obtenons ainsi

e-V~ log---~ }

~P(xl)-- xl = s log s . x e -21/pl~ -4- x V p log x . (I + h)" "

Laissons h fixe et disposons do s de telle mani6re que

c'est-h-dire nous a u r o n s

d'ofi (33)

(I + h)' ---- eV~log;

s log (I + h) = V p l o g x;

( z , ) - xt = h {x

log (log x ) . V~p log x . e - 2 V ~ }

I ~ (x,) - - x, I < ~ " x, log (log C x,) V p i o g x, e-2r'p ~~ ":,

C 6 t a n t une c o n s t a n t e num6rique.

R e m p l a g a n t x p a r x (I + h) et d6signant - - s'6noncer ainsi:

A c t a ~tathe,mo21ca. 33. Iraprlmfi le 9 novembre 1909.

~ + h

~ h h p a r ~ + H , ce r6sultat p e u t

40

314 Helge yon Koch.

D~signant p a r H0 u n e c o n s t a n t e positive < i e t p a r H u n h o m b r e a r b i t r a i r e - m e n t p e t i t ( d ~ p e n d a n t ou n o n de x) de l ' i n t e r v a l l e o . . . H0, il y a u r a dans c h a q u e i n t e r v a l l e

x . . . x ( I + H ) ,

du moins s p a r t i r d ' u n e v a l e u r s u f f i s a m m e n t g r a n d e de x, u n e v a l e u r x~ au moins p o u r laquelle on air

(34) I ~ (x,) - - x~ l < C H . x~ log (log x~). Vp log x~ e -2 pV)~0~*' - C 6 t a n t une c o n s t a n t e ( i n d 6 p e n d a n t e de x , x~, H ) .

D o n n o n s , p a r exemple, des valeurs fixes ~ x et s H et m a r q u o n s sur l ' a x e des x la suite de points

x, x ( I + H), x ( I + H ) ~, x ( I + H ) ~ .. . .

Cet a x e sera p a r ls p a r t a g 5 en i n t e r v a l l e s tels que, p o u r c h a c u n d ' e u x la diffe- r e n c e [ t p ( x ) - - x I d e v i e n t u n e fois a u moins, inf~rieure ~ la f o n e t i o n

K x log (log x) Vlog x e - e V ~ i ~

qui, c o m m e on volt, est d ' u n o r d r e inf~rieur h celui indiqu~ p a r ]a f o r m u l e (29).

P o u r ces points, a u moins, l ' a p p r o x i m a t i o n o b t e n u e en p r e n a n t

~ v ( x ) = x

est d o n c meilleure que l'on p o u v a i t l ' a f f i r m e r d ' a p r ~ s le th~or~me a s y m t o t i q u e de M. DE LA VALLEE POUSSIN.

Voyons, en second lieu, s quelle c o n s 6 q u e n c e a m 6 n e la f o r m u l e ( 3 2 ) e n a d m e t t a n t que tous les z6ros de ~(s) satisfassent h l'6galit6 b y p o t h 6 t i q u e de

R I E M A N N :

R e = - . I 2

J ' a i m o n t r 6 ( A c t a m a t h e m , t. 24) que l'on o b t i e n t d a n s ce cas

M e t t o n s donc

S < Kx~- (log s) 2, I (/,(x) - - x I < K x~ (log x) 2 ( K = e o n s t a n t e ) .

~o (x) : K (log x) ~ "

x89 '

on s'assure ais~ment q u e ~o(x) est d4croissante et x~o(x) c r o i s s a n t e ~ p a r t i r d ' u n e c e r t a i n e v a l e u r x o (on p e u t m e t t r e x~ ~ eL).

L ' a p p l i c a t i o n d d la f o r m u l e (32) d o n n e

oh

Contribution ~ la th6orie des nombres premiers.

O ( x l ) - - x ~ = x ~- (log ~)~" + (I +

z>z0,

s > 2 , o s I 2

X X

315

donc, si l'on d o n n e s h une v a l e u r fixe comprise dans l ' i n t e r v a l l c o . . . - I et que

2

l'on choisit s tel que

(i + h ) " ~ (log x) ~ il v i e n t , apr~s u n p e t i t ealcul,

~ p ( x ~ ) - x, = (x~ [log log (log x~)] ~ } x~ 6 r a n t une c e r t a i n e v a l e u r de l ' i n t e r v a l l e

X X

i + h I - - h e t x u n e v a l e u r q u e l c o n q u e > x 0.

8. Au w 4 de n o t r e m6moire cit6 plus h a u t (Acta m a t h . t. 24) n o u s a v o n s ealcul6 u n e limite sup6rieure p o u r la diff6rence

W(x, s)--~(x).

P o u r l ' o b j e t q u e nous a v o n s en v u e il f a u t r e p r c n d r e ce calcul p o u r d i m i n u e r a u t a n t q u e possible la limite en question.

k~(x, s) 6 t a n t definie p a r l'6galit6 (i), on p e u t poser

(35) T(x, s ) = O(x)--~, (z, s) + r s)

oh

p)'<~x

est u n e somme 6 t e n d u e h t o u t c s les puissances de n o m b r e s p r e m i e r s

p~.<=x

et off

(x, 2 ii _ e-(;t:) ") Jog p,

p ~ x

la s o m m e s ' 6 t e n d a n t s r o u t e s les puissances p~. > x.

316 Helge yon Koch.

P o u r p r 6 c i s e r , n o u s s u p p o s o n s x = n + x z e t s > 2 .

P o u r p ~ < x o n a a l o r s

e t

d ' o f i

p z < x - - - I 2

(') (~).

e - V <

q J , ( x , s ) < ~ ~ I p ~ ' s l o g p p ~ z

i ~ l o g

' v ~ 2

, n ~ t a n t u n n o m b r e p o s i t i f e n t i e r ,

< ~ log x dx + n

2

( Ili

^{X - - ~ ~ .}

= - - x - - l o g x + x l ~ x

P o u r p~.>x o n a p~>_x+ I- d ' o f i

2

(;) (~)'

i - - e - <

~2 (x, s) < x' ~ log p

p ~

p ~ x + 1

< x ' ~.~ log v

~-- n + 1

oo

< x" dx + ~ l o g ( n + I )

n + l

x,o x /

= log x + - s "

Contribution /t la th6orie des nombres premiers.

R e m a r q u a n t que

X - - I ~ a I s s s

317

I < e 2 x + l

2 X +

il v i e n t donc, d ' a p r ~ s (35),

/

(36) ~ ( x , e ) = O ( x ) + e 2z+1 l o g x +

x = n + 2 , s>=2 .

x lOgs x}

L a combinaison de cette formule avee (9) donne

(37)

~p(x) -= x - - log 2 ~ - - - 2 log I - - ~ - - 0 ~ F I - -

/ + { xlogx}

+ _x log + e ~.+x l o g x + - - - -

8 8

(

_{x = n +}

i

_{- 2 , 8 > 2}

)

]~crivons la s6rie f i g u r a n t dans cette expression sous la forme

off la premiere somme embrasse t o u s l e s termes off le m o d u l e de la partie imagi- naire de Q ne d6passe pas u n n o m b r e entier donn6 B et off R ( B ) d 6 s i g n e la somme de tous les autres termes. D'apr~s ce qui a 6t6 dit plus h a u t (n o 6) on t r o u v e faeilement

~ l o g m k,n

(39) ] R ( B ) ] < K . x . - - . e * ( K = constante)

r a - - B , m

Choisissons m a i n t e n a n t s tel que l'on ait

il suffit p o u r cela de prendre

k B I

= B '

318 (40)

Helge yon Koch.

k B

s = log B

e t o n a a l o r s ( d u m o i n s p o u r B > 3 )

8

C o m m e on a d'ofi

il v i e n t d o n e

k ~

s < _ I

m (pour m > B) I R ( B ) I < K ' z ' , , ~ . B m' "

c o

~_ - - ~ - < --B~ i- +, d y

s

log B log B I

---BT- + --B-- + ~

log B (K, = constante)

I R ( B ) I < K , . x . B

ce qui, eu 6gard ~ (40), p e r m e t d'6crire

(37)

sous la f o r m e

2 l~l~e Q

B + e" ~ + m o g B l o g x + - - -

~~- ~' + 2 ' C e t t e f o r m u l e m o n t r e q u e l'expression

2 ] ~ B

r e p r 6 s e n t e a s y m p t o t i q u e m e n t la fonetion tp (x) e~ d o n n e aussi le m o y e n de caleuler l'approximaLion e o r r e s p o n d a n t e & u n e v a l e u r donnbe de B . N o u s nous bor- n e r o n s iei g eonsid6rer quelques eas simples.

P r e n o n s d ' a b o r d B = 2 x ( l o g x ) ~ ; o n a u r a kB

Z

t e n d a n t vers z6ro a v e c - . C o m m e k est plus g r a n d que u n on voi~ d o n e q u e x

Contribution ~ la th~orie des nombres premiers.

/

e (~,§ l o g x + B

3 1 9

t e n d vers z6ro a v e c - . X

X I1 en est d e m 6 m e de

Done, si l'on p r e n d dans l'expression (42) B = 2 x (log x) t,

8 - ~ - 2 k x ( l o g x ) "

log x + 2 log log x + log 2

la diff6renee e n t r e e e t t e e x p r e s s i o n et ~p(x) t e n d r a vers z6ro a v e c - I X ~

suppos6 de la f o r m e n + ~ (n = n o m b r e entier).

2 P r e n a n t m a i n t e n a n t

B ---- xt, (o < u < i)

x 6 t a n t

on v o i t f a e i l e m e n t que l ' e x p r e s s i o n

- - - + e ~ , ~ . r l o g x +

r e s t e inf6rieure ~ K x l - t , ( l o g x ) s ( K = c o n s t a n t e ) d ' o 6 l'on c o n c l u t que, p o u r ce c h o i x de B , l ' e x p r e s s i o n (42) r e p r 6 s e n t e la f o n e t i o n ( p ( x ) a v e c une e r r e u r m o i n d r e q u e K x i - ~ ( l o g x ) ~ ( p o u r x = n + ~).

Se r a p p e l a n t q u e la f o n e t i o n

( i )

l o g 2 ~ : + l o g i - - ~ ,

p o u r x > 2 , r e s t e au dessous d ' u n e c e r t a i n e c o n s t a n t e et que la f o n c t i o n ~p(x) n ' a u g m e n t e que d ' u n e q u a n t i t 6 a u plus 6gale h log x q u a n d x passe p a r u n e v a l e u r de d i s e o n t i n u i t 6 de la f o n c t i o n , on p e u t d o n e dire q u e l'expression

x - - I" I - - kx" !

I f l l , : x , ~

repr$sente tp(x) avec une erreur moindre que Kxl-~'{log x) ~, x n ' 6 t a n t plus a s s u j e t t i a u e u n e c o n d i t i o n .

320 Helge yon Koch.

P o u r tt ^{= i} en o b t i e n t la conclusion s u i v a n t e :

2

On peut mettre approximativement

~ p ( x ) = x - - ~ z o F ( i - - e l ~ i~I,r 2 k V x l '

l' erreur commise giant en valeur absolue au plus dgale (t K lfx . (log x) ~ ( K = eonstante).

P a r un r a i s o n n e m e n t d o n t je me suis servi autrefois (Acta math. t. 24) on p r o u v e que la s o m m e

6tendue h. ceux des z6ros de ~(x) d o n t la partie r6elle est = ~, est infdrieure

2

K Vx. (log s) ~ .

( 2k l

On en conelut en p r e n a n t s = ] ~ ! que l'on peut, dans l'6none6 pr6c6- dent, borner la s o m m e

(43) ~ X ~ F ( I " Q-l~

i ~ l , V ~ e 2 k V x !

b~ ceux des z6ros ~ = ct + ifl qui satisfont aux d e u x in6galit6s I fl ] < 1Fx et

( 4 4 ) a ~ ~. ₂

Si l'on a d m e t t a i t , avec I~IEMA~-N, l'impossibilit6 de l'in6galit6 (44), la s o m m e (43) se r6duirait b~ z6ro et le dernier 6nonc6 coinciderait avec u n r6sultat d6j~

6tabli.

Djursholm Sl/s 08.

T