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l) R"[x] Il :,f;,o,,l"tr)l

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercice

5

On

eonsi,dère I'espace uectoriel réel

E = R[X].

1)

Montrer ryrc I'application

N

dë,finie par :

Y

P

e

E,lf(P) :,f;,o,,l"tr)l

est une norrne sur E.

2)

On appelle polynôme unitai,re toat polynôTne TLon nul d,ont le coefficient d,u tenn,e rle plus ltaut degré

eû

égul

àL-

Soit

n un entier

nattwel,

et

soit

Fn

I'ensernble des polgnômes unitaires d,e

d,egré infé.rieur ou é51a1 à

n.

Montrer qu'i,I èniste un réel

a,,

stri.ctement positi,f tel que

.vP e

F*,

N(e12 a*

Il

est ainsi possible d'e définir une suite

(o'),,.*.

on

pourra-uti,li,ser

te

fait, que sur

Ie

sous-espace uectorier

R"[x]

de

R[x]

formé d,es polynômes de de4ré

infffieur

ou égal à

n,

toutes les nonnes sont é,quiualentes

9) Edtiberun

polgnôrrte

P

urûtuire de degré

2

tel que

N(P) <

1'

l)

Montrer qu'il e:riste utt e suite de polynôrnes ( P") u,nituires tle E , conaergente et ayant pour limi'te Ie ltolynôme nul.

Montrer qtt,'une suite (a,,)oan ilé,fr,ni,e cûfiIm,e à Ia quest'ionL comterge né,cessairemen't uers 0.

FTN DE L'ENONCE

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