(tr) 8'(r)=,g(,) [r O^9.l ,

- . + -

Problème (l I Points) Commun à tous les candidats

SoitNo le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à I'instant I = 0 (l/0 étant un réel strictement positil, exprimé en millions d'individus).

Ce problème a pour objet l'étude de deux modèIes d'évolution de cette population de bsctéries : . un premier moclèle pour les instants qui suivent I'ensemencement (partie A)

c Ltfi second modèle pouvqnt s'appliquer sur une longue période (partie B).

Partie A

Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence'

Dans ce premier modèle, on note f(t) le nombre de bactéries à I'instant I (exprimé en millions d'individus)- [,a fbnction/est donc solution de l'équation différentielle : y'=ay .

(où a est un résl strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

1. Résoudre cette équation differentielle, sachant que/(O) : N6.

2. On note I le temps de doublement dc la population bactérienne'

t

Démontrcr que, pour tout réel I positif : "f (t) : No2't' .

Partie Il

t,c milieu étant limité (cn volume, en éléments nutritifs...), le nombrc de bactéries ne peut pas croîtrc in{éfiniment de façon exponenticlle. I.e modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur une longue période. Pour tcnir comptc de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries dc la lâçon sui'''ante :

S o i t g ( / ) e s t l e n o m b r c d c b a c t é r i e s à I ' i n s t a n t / ( c x p r i m é c n m i l l i o n s d ' i n d i v i d u s ) ; l a f o n c t i o n g e s t une fonction strictement positive et dérivable sur [0 ' i æ[ qui vérifie pour tout I de [0 ; +or[ la relation :

(tr) 8'(r)=,g(,)

[r O^9.l ,

M )

oir M est unc constante stricterncnt positive clépcntlant dcs conditions expérimentales et a le réel défini dans la partie A.

1. rr. Démoltrer que si g cst une lbnction strictcmcnt positive vériflant la relation (F,), alors la fonction I cst solution clc l'équation tlillérentiellc (li') : y'l ay :

in g

à . R é s o u d r e ( l r ' ) .

c. l)émontror quo si lr est une solution strictcrncnt positive dc (tr')" alors

I vérifie (E).

2 . O n s u p p o s e d é s o r m a i s q u c , p o u r t o u t r é c l p o s i t i f t, g ( t ) ' " . .l -, oir ( l est une cons{ante 1 r ( ) e " '

stricternerrt supéricttrc ii 1 dépendant dcs conditiclns expérimcntales.

r r . I) é t c r m i n c r l a l i m i t c c l e g e n I r r r c t c l é m o r t t r e r , p o L t r t o u t r é c l t p o s i t i f o u n u l , la d o u b l c i n é g a l i t é : t ) < g ( t ) < M .

À . Ir t u c l i c r l c s e r r s c i c v a r i a t i o n d c g ( o n ltourra u t i l i s e r l a r c l a t i o n ( [ l ) ) .

3}iIASSN{EI

- 5 -

Démontrer qu'il existe un réel unique /o positif tel que SGù = * .

L

c . D é m o n t r e r q u e g " = a ( l - 3 1 ,'. Étudier le signe de g" . En déduire que la vitesse M ' -

d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant /o défini ci-dessus' Exprimer /e en fonction de a et C.

d Sachant que le nombre de bactéries à l'instant / est g(l), calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et /6, en fonction de M et C.

Partie C

l. Le tableau préscnté en Annexe I a permis d'établir que la courbe représentative de/passait par les points de coordonnées respectives (0 ; l) et (0,5 ; 2). En déduire les valeurs de ly's, Iet a'

2. Sachant que g(0) : 1/o et que M : 100 y'y'q, démontrer, pour tout réel I positif ou nul, l'égalité suivante :

gr,)=r*#h

3. 'Iracer,

sur la feuille donnée en Annexe II, la courbe f représentative de g, l'asymptote à f ainsi que le point de f d'abscisse /s.

4. Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux observations faites ?

3 M A S S M B l

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Annexe I

T (enh)

0 0,5 I l 1 5 2 J 4 6 Nombrcæ bæ1êri6

(en millions) 1,0 z,o 3,9

37,9

90,1

læs points obtenus à putir de ce ableau, r.insi quc la fonctionl soût représentes dans le repère ci- dessous.

Annera II

v

r00

80

60

4A

20

'ii=f( I )l 1

T I I

I I

I

T

t

,(

-X

0 t 2 3 4 s 6 7 8

3MÀSSMEl