Soit X une v.a. ` a valeurs dans N .

Probabilit´ es 2012-2013

Variables al´eatoires discr`etes

1 Esp´ erance d’une v.a. ` a valeurs positives : calcul par transformation d’Abel

Soit X une v.a. ` a valeurs dans N .

1. On suppose l’esp´ erance de X finie. Red´ emontrer l’in´ egalit´ e de Markov : pour tout n ≥ 1 on a

P (X ≥ n) ≤ 1

n E(X).

D´ emontrer le r´ esultat plus pr´ ecis suivant : P (X ≥ n) ≤ 1

n E(1 X≥n X).

o` u 1 X≥n est la fonction caract´ eristique de l’´ ev` enement X ≥ n.

2. D´ emontrer que lim n→+∞ E(1 _X ≥n X) = 0.

3. Pour n ∈ N on pose p _n = P (X = n) et q _n = P (X ≥ n).

D´ emontrer que E(X) =

+∞

X

n=0

q _n .

2 Loi binomiale n´ egative

Soit m un entier sup´ erieur ` a 1. On effectue des essais ind´ ependants de probabilit´ e de succ` es constante ´ egale ` a p (avec 0 < p < 1), jusqu’` a obtenir m succ` es (en tout). Soit X le nombre d’essais n´ ecessaires.

1. Calculer la loi de probabilit´ e de X.

2. On suppose m ≥ 2. D´ emontrer que E( ^m−1 _{X −1} ) = p mais que E( ^m _X ) 6= p.

3 Somme de v.a. ind´ ependantes

Soient X et Y deux v.a. discr` etes et prenant chacune un nombre fini de valeurs, qu’on suppose ind´ ependantes. Soit X 1 (respectivement Y 1 ) une v.a. ayant la mˆ eme loi que X (resp. Y ).

1. Montrer que les couples (X, Y ) et (X ₁ , Y ₁ ) suivent la mˆ eme loi.

2. En d´ eduire que X + Y et X ₁ + Y ₁ suivent la mˆ eme loi.

1

3. Le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente est-il encore valable si X et Y ne sont pas ind´ ependantes ?

Application : soit X une v.a. qui suit la loi binomiale B(n, p) et Y une v.a. qui suit la loi B(m, p), montrer que X + Y suit la loi B(n + m, p) lorsque X et Y sont ind´ ependantes (on ´ ecrira chacune de ces v.a. comme somme de v.a. de Bernoulli).

Remarque : on peut aussi retrouver ce r´ esultat en calculant directement la loi de X + Y , ou en utilisant les fonctions g´ en´ eratrices de X et Y .

4 Formule de crible

Dans cet exercice, si A est un ´ ev` enement on note 1 _A la fonction caract´ eristique de A : c’est la v.a. qui prend la valeur 1 sur A et 0 en dehors.

1. Pour deux ´ ev` enements A et B, exprimer 1 _A

, 1 A∩B et 1 A∪B en fonction de 1 _A et 1 _B . 2. Calculer E(1 _A ).

3. En calculant l’esp´ erance de 1 _(A

∪A

∪...∪A

)

, retrouver la formule du crible : P (A ₁ ∪ A ₂ ∪ ... ∪ A _n ) = X

i

P (A _i ) − X

i

<i

P (A _i

∩ A _i

) + X

i

<i

<i

P (A _i

∩ A _i

∩ A _i

) + ...

+(−1) ⁿ X

i

<...<i

P (A _i

∩ ... ∩ A _i

) + (−1) ⁿ⁺¹ P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ ... ∩ A _n )

=

n

X

k=1

(−1) ^k+1 X

{i ₁ , ..., i _k } ⊂ [1, n]

Card({i 1 , ..., i k }) = k

P (A _i

∩ ... ∩ A _i

).

Application : on lance r balles dans n cases (avec r > 0 et n > 0), calculer la probabilit´ e qu’aucune case ne soit vide.

5 Min de deux variables suivant une loi g´ eom´ etrique

Trouver la loi de la v.a. Z ´ egale au minimum de deux v.a. de lois g´ eom´ etriques X et Y ind´ ependantes de param` etres λ et µ.

Indication : On pourra commencer par calculer P (Z ≥ n) pour tout entier n.

6 Ruine du joueur de casino

Un joueur va au casino avec une fortune a ∈ N . A chaque partie il peut gagner un euro avec une probabilit´ e p et perdre un euro avec une probabilit´ e q = 1 − p. Son but est de jouer jusqu’` a obtenir la fortune c ≥ a, mais il doit s’arrˆ eter s’il est ruin´ e. On note s <sub>c</sub> (a) sa probabilit´ e de succ` es (atteindre c avant la ruine).

1. Calculer s _c (0) et s _c (c).

2

2. Montrer (en s’appuyant sur ce qui s’est pass´ e au premier coup) que s _c (a) = p s _c (a + 1) + qs _c (a − 1) .

3. D´ eduire la valeur de s _c (a)

4. Application num´ erique : calculer la valeur de s _c (a) dans les cas a = 100 et c = 200 puis c = 20000 pour le jeu de ”pile ou face” (p = 1/2) et de la ”roulette am´ ericaine”

(p = 18/38).

On imagine maintenant que le joueur a le droit d’avoir des dettes (il joue aussi longtemps qu’il le souhaite), et on s’int´ eresse au temps d’attente du premier gain. On d´ efinit ϕ _n comme ´ etant la probabilit´ e que son premier gain se r´ ealise au n-i` eme coup. Par convention on pose ϕ ₀ = 0.

1. Calculer ϕ ₁ .

2. Montrer ϕ _n = q (ϕ ₁ ϕ n−2 + . . . + ϕ n−2 ϕ ₁ ).

3. On pose Φ(s) = P +∞

n=0 ϕ n s ⁿ . Montrer que Φ(s) − p s = q s Φ(s) ² . 4. Calculer

+∞

X

n=0

ϕ _n .

5. Soit N la v.a. ´ egale au num´ ero du coup auquel le joueur r´ ealise son premier gain.

Calculer E(N ).

7 Fonction g´ en´ eratrice d’une v.a. de Poisson

1. Soit X une v.a. qui suit la loi de Poisson de param` etre λ, λ > 0. Calculer sa fonction g´ en´ eratrice, en d´ eduire son esp´ erance et sa variance.

2. Soit Y une v.a. qui suit la loi de Poisson de param` etre µ, µ > 0. Calculer la fonction g´ en´ eratrice de X + Y et en d´ eduire la loi de X + Y .

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