des parties entières des multiples de ce nombre. On note V (x) l'ensemble des valeurs de la suite de Beatty et M (x) l'ensemble des multiples

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MPSI B Année 2016-2017 Énoncé DM 5 pour le 18/11/16 29 juin 2019

La suite de Beatty

¹

d'un nombre réel strictement positif x est la suite (bnxc)

_n∈N∗

des parties entières des multiples de ce nombre. On note V (x) l'ensemble des valeurs de la suite de Beatty et M (x) l'ensemble des multiples

V (x) = {bnxc, n ∈ N

^∗

} , M (x) = {nx, n ∈ N

^∗

}

Partie I.

On se donne deux nombres réels strictement positifs et irrationnels

²

s et r tels que 1

s + 1 r = 1

On se propose de démontrer que V (s) et V (r) forment une partition de N

^∗

. 1. Première démonstration.

a. Montrer que si j , k , m sont des naturels non nuls tels que j = bkrc = bmsc , alors j < k + m < j + 1 . En déduire que V (s) ∩ V (r) = ∅ .

b. Soit j ∈ N

^∗

, montrer que j / ∈ V (r) entraine qu'il existe k ∈ N tel que kr < j et j + 1 ≤ (k + 1)r

c. On suppose qu'il existe des entiers naturels j , k , m tels que

kr < j et j + 1 ≤ (k + 1)r et ms < j et j + 1 ≤ (m + 1)s Montrer que

k + m < j < k + m + 1 d. Conclure.

2. Deuxième démonstration (indépendante de la précédente) a. Montrer que M (

¹_r

) et M (

¹_s

) sont disjoints.

b. Soit j ∈ N

^∗

, préciser les nombres d'éléments des ensembles suivants

x ∈ M ( 1

r ) tq x ≤ j r

,

x ∈ M ( 1

s ) tq x ≤ j r

c. Montrer que

]

x ∈ M ( 1

r ) ∪ M ( 1

s ) tq x ≤ j r

= bjsc

d. Conclure en numérotant par ordre croissant les éléments de M (

¹_r

) ∪ M (

¹_s

) .

1cette suite est aussi appelée spectre d'un nombre réel dans l'ouvrage Concrete Maths de Knuth

2c'est à dire n'appartenant pas àQ

Partie II.

On considère une suite de nombres entiers strictement positifs (a

_n

)

_n∈

N^∗

. À partir de cette suite, on dénit deux autres suites (x

n

)

_n∈

N^∗

et (y

n

)

_n∈

N^∗

en posant

∀n ∈ N

^∗

,



 

 

x

n

= max n a

k

k , k ∈ J 1, n K o

y

n

= min

a

k

+ 1

k , k ∈ J 1, n K

1. Montrer que (x

n

)

_n∈

N^∗

est croissante et (y

n

)

_n∈

N^∗

décroissante.

2. On suppose dans cette question seulement que (a

n

)

_n∈

N^∗

est une suite de Beatty c'est à dire qu'il existe un α > 0 irrationnel tel que a

n

= bnαc pour tous les n ∈ N

^∗

. Montrer que x

n

< y

n

pour tous les n ∈ N

^∗

.

3. On suppose ici que x

n

< y

n

pour tous les n ∈ N

^∗

. a. Montrer que (x

n

)

_n∈

N^∗

et (y

n

)

_n∈

N^∗

convergent vers la même limite strictement positive notée α .

b. On suppose α irrationnel, montrer que a

n

= bnαc pour tous les n ∈ N

^∗

.

c. On considère le cas de la suite a

k

= 2k − 1 pour tous les k ∈ N

^∗

. Que peut-on en conclure ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1605E