CORRECTION DE L EXERCICE 45 A FAIRE POUR LE MARDI 31 MARS

CORRECTION DE L EXERCICE 45 A FAIRE POUR LE MARDI 31 MARS

Exercice 45 page 396

X suit une loi exponentielle de paramètre donc X suit la loi de densité f où f est la fonction définie sur [0 [ par f (x ) e

.

1. On sait que P( X 5568) 0,5.

a. On va chercher : P( X 5568) 0,5   

0

5568

f (x )dx 0,5

P( X 5568) 0,5 

 

  e

0 5568

0,5 P( X 5568) 0,5  e

0,5

P( X 5568) 0,5  5568 ln(0,5) P( X 5568) 0,5  ln (0,5 )

5568

ln(2 )

5568 . Le paramèt re de l a l oi est ln(2 ) 5568 . Alors P (X 1000)  

0

1000

f (x )dx

 

  e

0 1000

e

1 0,117

La probabilité qu un atome de carbone 14 se désintègre avant 1000 ans est environ 0,117.

b. P(X x) 0,2   

0

x

f(t )dt 0,2 On utilise t comme variable muette car "x est déjà pris".

P( X x) 0,2 

 

  e

0 x

0,2

P( X x) 0,2  e

1 0,2 P( X x) 0,2  e

0,8 P( X x) 0,2  x ln(0,8)

P( X x) 0,2  x ln (0,8 ) avec λ ln(2 )

5568 . ln (0,8 )

1792.

P( X x) 0,2 pour x 1792 ans.

La probabilité qu un atome de carbone 14 se désintègre avant 1792 ans est environ 0,2.

2. On procède de la même façon que dans la question 1.

On obtient : ln(2)

30 ; P( X 1000) 1

P( X x) 0,2 pour x 10 ans