CORRECTION DE L EXERCICE 4 E LA FICHE A FAIRE POUR LE MARDI 12 MAI

CORRECTION DE L EXERCICE 4 E LA FICHE A FAIRE POUR LE MARDI 12 MAI

Exercice 4 1.

a.

z₁

1 i

2 16 8 8i ; z

2

1 i

2 (8 8 i) 8i et

z₃

1 i

2 8i 4 4i .

b.

^1

2

i

1

2 1 2 i.

 

 

1 i

2

1

2 2 2

2 (diagonale d un carré de côté 1

2 ) et ar g

 

 

1 i

2

4 donc la forme trigonométrique de 1 i

2 est 2

2  

  cos  

 

4

isin

 

 

4

sous forme trigonométrique.

c. OA

0

| | ^z

⁰

| ¹⁶ | ^{16 ; OA}

1

| | ^z

¹

| ^{8 8 i} | ^{8 2 ;}

A

0

A

1

| ^z

¹

^z

⁰

| ^{| 8 8 i 16 | | 8 8 i | 8 2}

 A0

A

1

OA

1

donc le triangle est isocèle en A

1

.

 A₀

A 1² OA

1

² ( ^{8 2} ) ^² ( ^{8 2} ) ^{² 256 et OA}

0

² 16² 256 : A

0

A 1² OA

1

² OA

0

² donc le triangle est rectangle en A

₁

.

Ainsi, le triangle OA

₀

A

₁

est isocèle rectangle en A

₁

. 2. Soit n . r

n 1

| ^z

^{n 1}

| _ ^

¹₂ⁱ

^z

ⁿ

_ ^ _ ^

¹₂ⁱ

_ ^{ z}

ⁿ

²

2 r

n

. La suite ( ) ^r

ⁿ

est géométrique de raison 2

2 et de premier terme r

₀

| | ^z

⁰

| ¹⁶ | ^16.

Pour tout n de , r

n

16

 

 

2 2

n

.

1 2

2 1 donc lim

n

 

 

2 2

n

0 et donc lim

n

r

n

0 : la suite ( ) ^r

ⁿ

est convergente vers 0.

r

_n

| | ^z

n

OA

_n

. On a donc lim

n

OA

_n

0 : les points A

_n

tendent vers l origine lorsque n tend vers .

3.

a. A

_n

A

_{n 1}

| ^z

n 1

z

_n

|

 

 

1 i

2

z

_n

z

_n

 

  z

_n

 

 

1 i

2

1 | | ^z

n

 

 

1 i

2

r

_n

2

2

⁾

r

_{n 1}

b. Soit n . L

n

A

0

A

1

A

1

A

2

…A

n 1

A

n

r

1

r

2

…r

n

d après le a.

( ) ^r

ⁿ

étant une suite géométrique, on a alors L

n

r

1

1 q

ⁿ

1 q

Formule de la somme des termes d une suite géométrique : 1

^er

ter me 1

qnb de ter mes

1

q

L

_n

| | ^z

1

1  

 

2 2

n

1

²

2

8 2 1  

 

2 2

n

2 2

2

16 2 2 2  

  1  

 

2 2

n

( ^{16 16 2} ) _ ^{ 1} _ ^

²

_ ^ _ ^

2

n

c. 1 2

2 1 donc lim

n

 

 

2 2

n

0 et donc lim

n

L

_n

16 16 2 .