CORRECTION DE L EXERCICE 1 DE LA FICHE À FAIRE PENDANT LE COURS DU MARDI 2 JUIN
Exercice 1 de la fiche.
Soit f la fonction définie sur par f(x) sin(x) cos(x).
1. Calculer f( ) sin( ) cos( ) 1 et f( ) sin( ) cos( ) 1.
2. On peut imaginer avec la question 1 que f est paire. Mais nous ne l avons pas prouvé !
A la calculatrice, on remarque que la courbe n est pas symétrique par rapport à l axe des ordonnées.
Ainsi, f ne semble pas paire.
On le prouve en trouvant un contre-exemple : f
4 sin
4 cos
4 2 et f
4 sin
4 cos
4 0.
f
4 f
4 donc f n est pas paire f
4 f
4 donc f n est pas impaire Ainsi, f n est ni paire ni impaire.
3. f(0) 1 et f(0 ) f( ) 1. f(0) f(0 ) donc f n est pas périodique de période .
Pour montrer que f n est pas périodique, un contre-exemple suffit. Par contre, f est périodique de période 2 (que l on peut écrire aussi 2 -périodique) signifie que pour tout réel x,
f(x 2 ) f(x). il faut le prouver avec les lettres.
4. Soit x un réel.
f(x 2 ) sin(x 2 ) cos(x 2 ) sin(x) cos(x) f(x)
En effet, les foncti ons sin et cos sont 2 -périodiques donc sin(x 2 ) sin(x) et cos(x 2 ) cos(x)
Alors f est périodique de période 2 .
5. On utilise le fait que f est 2 -périodique.
605 6
600 6
5
6 100 5
6 50 2 5
6 donc f
605
6 f
5
6 car f est 2 -périodique donc ajouter 50 fois 2 ne change pas la valeur de la fonction.
Ainsi, f
605
6 f
5
6 sin
5
6 cos
5
6 sin
6 cos
6 sin
6 cos
6 f
605
6
1 2
3 2
1 3
2
6. On reproduit la courbe "tous les 2 ".
