CORRECTION DE L EXERCICE 107 PAGE 230 A FAIRE POUR LE MARDI 2 JUIN
Exercice 107 page 230.
1.
a. cos²(x) 1 cos(x) 1 ou cos(x) 1
Le point associé aux nombres ayant pour cosinus 1 est I (à gauche du cercle). Dans l intervalle [ ], il est associé à et à .
Le point associé aux nombres ayant pour cosinus 1 est I (à droite du cercle). Dans l intervalle [ ], il est associé à 0.
Les solutions dans [ ] de cos²(x) 1 sont ; 0 et . b. 2sin²(x) 1 0 sin²(x) 1
2 sin(x) 1 2
1 2
1 2
2
2 ou sin(x) 2 2 Les solutions dans [ ] de sin(x) 2
2 sont
4 et 3 4 Les solutions dans [ ] de sin(x) 2
2 sont
4 et 3 4 Les solutions dans [ ] de 2sin²(x) 1 0 sont
4 ; 3 4 ;
4 et 3 4 . 2. On pose X sin(x)
2sin²(x) 5sin(x) 3 0
X sin(x) 2X² 5X 3 0 On résout 2X² 5X 3 0 :
49 donc l équation a deux solutions qui sont 1
2 et 3 Alors 2sin²(x) 5sin(x) 3 0 sin(x) 1
2 ou sin(x) 3
sin(x) 3 n a pas de solution car pour tout x de , 1 sin(x) 1.
dans [0 2 ], sin(x) 1
2 a pour solutions 6 et 5
6 .
Ainsi, les solutions dans [0 2 ] de 2sin²(x) 5sin(x) 3 0 sont
6 et 5 6 . 3. L équation est plus difficile car il y a cos(x) et sin(x).
On va se ramener à une équation avec des cosinus en utilisant le fait que sin²(x) cos²(x) 1, c'est-à- dire sin²(x) 1 cos²(x).
sin²(x) 2cos(x) 2 0 (1 cos²(x)) 2cos(x) 2 0
cos²(x) 2cos(x) 1 0
(cos(x) 1)² 0
cos(x) 1
La solution dans [0 2 ] de sin²(x) 2cos(x) 2 0 est .
