() () () () CORRECTION EXERCICES 26 ET 91 DU COURS DU MARDI 14 MARS

CORRECTION EXERCICES 26 ET 91 DU COURS DU MARDI 14 MARS

Ex 26 page 204.

1. Soit F la fonction définie par F(x) xln(x).

Fest définie et dérivable sur ]0 [. Pour tout réel x 0, F (x) 1 ln(x) x 1

x ln(x) 1.

2. F est donc une primitive de la fonction f définie par f(x) ln(x) 1.

Alors 

1

e(ln(x) 1)dx



 xln(x)

1 e

1 ln(1) e ln(e) 1 0 e 1 e.

Ex 91 page219.

f(x) (1 x)e^x.

1. f est définie et dérivable sur . Pour tout réel x, f (x) 1e^x (1 x)e^x (formule u v) f (x) e^x e^x xe^x xe^x

f est définie et dérivable sur . Pour tout réel x, f (x) 1e^x ( x)e^x (formule u v) f (x) e^x xe^x

Pour tout réel x, on a alors f (x) 2f (x) f(x) e^x xe^x 2

(

)

f (x) 2f (x) f(x) e^x xe^x 2xe^x e^x xe^x f (x) 2f (x) f(x) 0

2. Il faut trouver une primitive de f. Il faut donc trouver une fonction dont la dérivée est f.

Pour cela, on cherche à utiliser la question 1 en isolant f(x).

D après la questi on 1, pour tout réel x, f(x) 2f (x) f (x)

Si on déri ve 2f f , on obtient 2f f ce qui est égal à f (voir ligne précédente).

Pour tout réel x, on pose F(x) 2f(x) f (x).

F est dérivable sur et, pour tout réel x, F (x) 2f (x) f (x) f(x). F est donc une primitive de f sur On cherche maintenant l expression de F(x) pour pouvoir calculer l intégrale :

Pour tout x de , F(x) 2(1 x)e^x

(

)

On a donc 

0 1f(t)dt



 F(x)

0 1

F(1) F(0)

(

) (

)