CORRECTION DES EXERCICES DU COURS DU MARDI 14 MARS.
Exercice 10 : Calculer les sommes suivantes : 1. S 1
2 1 4
1
8 … 1
256
On remarque qu on passe d un terme de la somme au suivant en multipliant par 1
2. S est donc la somme de termes d une suite géométrique de raison 1
2 et de premier terme u0 1 2. On remarque aussi que 1
256
1 2
8
Pour cela, on peut essayer des valeurs de l exposant ou faire le tableau de valeurs de la suite définie par an
1 2
n
pour trouver que c est a8 qui donne 1
256. Il n y a pas de méthode connue en première pour trouver le 8 par le calcul, on ne peut que tâtonner.
On a alors S 1 2
1 2
2 …
1 2
8
. La somme comporte 8 termes.
La suite étant géométrique, on utilise la formule :
Somme de termes consécutifs premier terme de la somme 1 qnombre de termes
1 q
Alors S 1 2
1
1 2
8
1 1 2
1 2
1
1 2
8
1 2
1
1 2
8
2. S 3 9 27 … 59049
On remarque qu on passe d un terme de la somme au suivant en multipliant par 3 . S est donc la somme de termes d une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 3.
On remarque aussi que 59049 310 Pour cela, on essaie des nombres jusqu à noter que 10 convient ou on fait afficher les valeurs de la suite définie par an 3n.
On a alors S 3 3² … 310. La somme comporte 10 termes.
Alors S 3 1 310
1 2 3 1 310
2 3 310 1
2 car 1 311 2
( 1) (1 311)
( 1) ( 2)
1 311 2
311 1 2 S 3(310 1)
2
3. S 2 4 8 … 8192
On remarque qu on passe d un terme de la somme au suivant en multipliant par 2. S est donc la somme de termes d une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 2.
On remarque aussi que 8192 ( 2)13.
On a alors S ( 2) ( 2)² … ( 2)13. La somme comporte 13 termes.
Alors S 2 1 ( 2)13
3 2 1 213
3 car ( 2)13 213 puisque 13 est impair.
S 2(1 213)
3 .
