DU DISCRET AU CONTINU.
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Une enquête téléphonique auprès de foyers dont les mensualités de remboursement de crédit sont comprises entre 100 et 400 euros par mois a été réalisée pour connaître plus précisément le montant de leurs mensualités. La répartition des mensualités de ces foyers est résumée dans le tableau des fréquences ci-dessous :
Mensualité en dizaine d euros
[10 ; 13[ [13 ; 16[ [16 ; 19[ [19 ; 22[ [22 ; 25[ [25 ; 28[ [28 ; 31[ [31 ; 34[ [34 ; 37[ [37 ; 40[
Fréquence 0,307 0,192 0,132 0,096 0,072 0,058 0,045 0,038 0,032 0,028
On a représenté ci-contre ces données par un
histogramme où l aire de chaque rectangle est égale à la fréquence de la classe correspondante :
1. Quelle est la hauteur du premier rectangle ? L aire du premier rectangle est 0,307 puisque l aire est égale à la fréquence correspondante.
La largeur du rectanIcigle est 13 10 3 donc la hauteur est 0,307
3 0,102.
2. Que vaut l'aire totale de l'histogramme ?
L aire totale de l histogramme est la somme des aires de tous les rectangles, donc la somme de toutes les fréquences donc 1.
On interroge au hasard une des personnes auprès desquelles a été réalisée l'enquête.
On choisit, comme loi de probabilité sur l'univers de cette expérience aléatoire, la distribution des fréquences donnée par le tableau et on appelle X la variable aléatoire qui représente le montant mensuel du remboursement en dizaines d'euros.
3. Déterminer la probabilité de chacun des événements : ( X16) et (13 X 19).
La probabilité que le remboursement soit inférieur à 16 dizaines d € est la somme des fréquences des deux premières colonnes du tableau (qui correspondent à un remboursement de moins de 16 dizaines d €)
D après le tableau, 30,7% des personnes remboursent entre 10 et 13 dizaines d € et 19,2%
remboursent entre 13 et 16. Donc 49,9% remboursent moins de 16 : P (X 16) 0,307 0,192 0,499
Ici, X peut prendre toutes les valeurs de l intervalle [10 40]. Jusqu à présent, vous n avez étudié que des cas où il y avait un nombre fini d issues. Ici, il y a une infinité d issues. On parle de loi continue.
Ce tableau nous permet de déterminer la probabilité qu une personne paie moins de 16 dizaines d € ou moins de 13, moins de 19 … (les nombres qui sont dans le tableau) mais pas la probabilité par exemple, qu elle paie moins de 23 dizaines d €. Pour déterminer cette probabilité, il faudrait regrouper les résultats de façon plus précise.
On cherche maintenant à déterminer la probabilité des événements (X 23) et (X 24,7)
On reprend les réponses au sondage et on les regroupe de façon plus précise. On obtient les résultats suivants :
= 1,0 %
16 19 22 25 28 31 34 37
10 13 x
y
Mensualité en dizaine d euros
[10 ; 11[ [11 ; 12[ [12 ; 13[ [13 ; 14[ [14 ; 15[ [15 ; 16[ [16 ; 17[ [17 ; 18[ [18 ; 19[ [19 ; 20[
Fréquence 0,121 0,101 0,085 0,073 0,063 0,056 0,049 0,044 0,039 0,035 Mensualité en
dizaine d euros
[20; 21[ [21; 22[ [22; 23[ [23; 24[ [24; 25[ [25; 26[ [26; 27[ [27; 28[ [28; 29[ [29; 30[
Fréquence 0,032 0,029 0,026 0,024 0,022 0,021 0,019 0,018 0,016 0,015 Mensualité en
dizaine d euros
[30 ; 31[ [31 ; 32[ [32 ; 33[ [33 ; 34[ [34 ; 35[ [35 ; 36[ [36 ; 37[ [37 ; 38[ [38 ; 39[ [39 ; 40[
Fréquence 0,014 0,013 0,013 0,012 0,011 0,011 0,010 0,010 0,009 0,009
On construit alors un nouvel histogramme, où l aire de chaque rectangle est égale à la fréquence de la classe correspondante :
4. Déterminer P (X 23).
A l aide du tableau, on peut dire que
P (X 23) 0,121 0,101 0,085 … 0,026 0,753.
On ajoute les fréquences du tableau pour une mensualité entre 10 et 23 (23 non compris)
On admet qu'en diminuant progressivement les amplitudes des intervalles de l'histogramme, les rectangles constituant cet histogramme seront de largeur presque nulles et toutes égales. Les « sommets » de ces rectangles seront des points tellement rapprochés qu'ils formeront une courbe, dite courbe de tendance de l'histogramme.
Plus les intervalles (classes) sont étroits, plus les résultats sont "précis". On voit apparaître une courbe.
On admet ici que cette courbe est la représentation graphique de la fonction définie sur l'intervalle [10 40] par f (x)
x² . Cette représentation graphique est tracée sur le graphique précédent.
5. Vérifier que
ftdt 1. Interpréter en terme d aire.
10
40
f(x )dx
10 40 40
3x²
dx.
On cherche une primitive de 40 3 x² 40
3 x² 40
3 1
x² donc une primitive est 40 3
1 x40 3 x Alors
10
40
f( x)dx
40 3 x
1040
40
3 40
40
3 10 1. L aire sous la courbe entre les droites verticales d équations x 10 et x 40 est 1.
Cela correspond bien à l aire de l histogramme.
6. Comment peut-on retrouver P(13 X 19) ?
L histogramme "suit" la courbe. On considère que si on refait un tableau avec des classes encore plus étroites, l histogramme suivra encore plus la courbe.
P (13 X 19) est l aire de la partie d histogramme qui correspond aux classes de 13 à 19.
On peut estim er qu elle est à peu près égale à l ai re sous l a courbe pour x de 13 à 19 puisque l histogramme suit à peu près la courbe. Cette aire est
13
19
f(x )dx . Pour la calculer, on va réutiliser la primitive précédente.
P(13 X 19)=
13
19
f (x )dx
40 3 x
1319
0,324.
7. Déterminer alors P( X 24,7) et P (X 13,98).
= 1,0 %
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
10 12
P( X 24,7)
10
24,7
f (x )dx
40 3 x
1024,7
0,794 et P( X 13,98)
13,98 13,98
