() () () CORRECTION DES EXERCICES 72, 90 ET 110 A FAIRE POUR LE MARDI 14 AVRIL

CORRECTION DES EXERCICES 72, 90 ET 110 A FAIRE POUR LE MARDI 14 AVRIL

72 p 193.

f( x) ( 2 x 1) e ^x .

f est définie et dérivable sur .

Pour calculer f (x ), on utilise u v avec u (x ) 2 x 1 ; u ( x) 2 ; v( x) e ^x et v ( x) e ^x . Pour tout x , f ( x) 2 e ^x ( 2x 1)e ^x e ^x ( 2 2x 1) e ^x ( 2 x 1)

x 0

2 x 1 0 pour x 0,5 et a 2 0 donc puis

f( 0,5) ( 2 0,5) 1)e ^0,5 2e ^0,5

2x 1 e ^x

signe de f (x ) 3 ( ^{e x 1} )

variations de f 2e ^0,5

90 page 194.

Plutôt que répondre dans l ordre aux questions, voi ci l a m ét hode t ype pour rés oudre des équati ons avec e ^2x et e ^x . Elle ressemble à la méthode vue dans le chapitre sur le second degré pour les équations bicarrées avec x ⁴ et x².

(E ) : e ^2x 2e ^x 3 0.

On pose X e ^x . Alors X ² ( ) ^{e x 2 e 2x}

(E ) 

 

 X e ^x

X² 2X 3 0

On résout alors l équation X² 2X 3 0:

16 donc l équation a deux solutions : X 1

2 16

2 1 3 et X 2

2 16

2 1 1

Il faut bien appeler ces solutions X et non x. Et ensuite penser à chercher x en utilisant X e ^x : Alors ( E) 

 

 X e ^x

X 3 ou X 1  e ^x 3 ou e ^x 1

e ^x 3 n a pas de solution car e ^x 0 pour tout x et e ^x 1 ssi x 0 (E )  x 0 La solution est 0.

110 page 197.

1. C est la courbe de la fonction exp.

Alors T a pour équation y exp (0)(x 0) exp(0).

exp (0) exp(0) 1 dont T a pour équation y 1 x 1 ou encore y x 1.

2. f (x) e ^x x 1

a. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) e ^x 1.

On cherche le signe de e ^x 1 pour savoir "où mettre le et le dans le tableau".

e ^x 1 0  e ^x 1  x 0 d après le cours

On a trouvé que e ^x 1 0 lorsque x 0 donc on met les dans le tableau lorsque x 0.

On a donc le tableau :

x 0 e ^x 1

signe de f ( x) ( ^{e x 1} )

variations de f

0 f(0) e ⁰ 0 1 1 0 1 0

b. D après le tableau, le minimum de f sur est 0.

c. Le minimum de f est 0 donc, pour tout x de , f (x) 0 : f (x ) est positif sur .

3.

a. Pour tout x de , f( x) 0, c'est-à-dire e ^x x 1 0 ou encore e ^x 1 x.

On a donc, pour tout réel x, 1 x e ^x .

b. La droite T a pour équation y x 1 et la courbe C a pour équation y e ^x . Or on vient de

montrer que, pour tout x de , 1 x e ^x . Ainsi, la droite T est toujours en dessous (ou

confondue avec) de la courbe C.