A4919-Une algébrique et deux diophantiennes :
Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8x – 18x = 18x – 27x.
Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x2 + 26455 = 2y.
Q3 L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel.
Déterminer le quatrième terme de la suite.
Solution proposée par Nicolas Petroff
(Q1) :
- Une 1ère solution est x = 0 .
- Une 2ième solution est donnée par : soit une équation (A) de la forme : équation du 2ième degré en qui a pour racine
, étant le nombre d’or en prenant les Log népériens (Ln) :
.
(Q2) Soit . Posons et .
(h1) supposons z-x = 5 z = 5291 , donc (h1) n’est pas bon.
(h2) supposons z-x = 11 z = 1208 , donc (h2) n’est pas bon.
(h3) supposons z-x = 13 z = 1024 , donc (h3) est bon.
(h4) supposons z-x = 37 z = 376 , donc (h2) n’est pas bon.
Pour toutes les autres valeurs de (z-x) qui sont composées de produits des nombres premiers facteurs de 26455 , on obtiendrait des valeurs de y < 15 .
Donc la solution unique est donnée par , soit pour y = 20 et donc x = 1011 .
(Q3) Soit le terme générale de la progression géométrique . On a donc : x+10 = a et x+4000 = avec a, p, q, x , avec le 4ième terme est . L’équation à résoudre est donc : avec les inconnues k, p, q . Pour cela, soit la fonction avec l entier .
, f croissante avec q , de même f est croissante avec k et l.
Démontrons donc l’unicité de la solution de l’équation .
- (h1) k = 7 et l 4 : : , il en est de même avec l = 3 et l = 2 et pour tous les l > 4 . Pour l = 1 : et pour k = 7, : aucune solution . Donc s’il y a des solutions elles sont données pour k < 7.
- (h2) de k = 1 à k = 5 : pour l il n’y a pas de solution ( valeurs > 3990) , et pour l < 5 il n’y a aucune valeur pour q et l qui satisfasse l’équation (je ne m’étends pas sur le détail des cas rencontrés au brouillon) . pour k = 1 à 5, : aucune solution . - (h3) k = 6 : et l : f > 3990 . Pour l = 1 : la seule solution est : .
p = 3 , q = 2 , k = 6 , a = 384 et le 4ième terme est donc .
