DS03 TS4 Rattrapage Fonction exponentielle

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Nom : . . . .

Prénom : . . . . Devoir n

^o

08 Nov.2019 . . ./. . .

DS 03

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.

Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.

Attention ! Le sujet est sur 2 pages ( recto-verso ).

Exercice 1 3 points

3 pts Écrire plus simplement les expressions suivantes en utilisant les propriétés algébriques de l’exponentielle :

A= e²×e³ B=(e2)⁴

e³ C=

1 e^x

2

D=(e^x)²×e^x e⁻^x

Exercice 2 11,5 points

On considère la fonctionf définie surRparf(x) = x e^2x−2x.

On noteCsa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.

1 Soitgla fonction définie surRpar :g(x) =e^2x−2x−1.

2.5 pts a. Etudier les variations de la fonctiongsurR. En déduire le signe deg(x).

0.5 pt b. Montrer que, pour tout réelx, (e^2x−2x) est strictement positif.

2 a.

2 pts Calculer les limites de la fonctionf en +∞et−∞. 1 pt b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.

3 a.

1.5 pt Calculerf⁰(x),f⁰désignant la fonction dérivée def.

1 pt b. Etudier le sens de variation def puis dresser son tableau de variation.

1 pt c. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbeCau point d’abscisse 0.

2 pts d. Etudier la position relative deC_f par rapport àT.

Exercice 3 6,5 points

3 pts 1 Résoudre dansR, lorsque c’est possible, les équations suivantes :

a. e^2x⁻²= e b. e^x²⁻^6x⁻⁷= e⁰ c. e^3x+2=−e

2 pts 2 Résoudre dansRl’équatione^2x−2e^x−3 = 0.(on pourra utiliser le changement de variableX=e^x) 1.5 pt 3 Calculer la dérivée de la fonctiongdéfinie par :x :7−→(x²−3x−2) e⁻^2x

1

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Exercice 4 5 points

2 pts 1 Soit la fonctiongdérivable, définie sur [0 ; +∞[ par

g(x) =x²e^x−1.

Étudier le sens de variation de la fonctiong.

2 pts 2 Démontrer qu’il existe un unique réelαappartenant à [0 ; +∞[ tel queg(α) = 0.

Démontrer queαappartient à l’intervalle [0,703 ; 0,704[.

1 pt 3 Déterminer le signe deg(x) sur [0 ; +∞[.

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