Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
o03
Oct. 2020 . . ./. . .
DM 01
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.
Découvrir la méthode de la représentation en escalier d’une suite pour conjecturer sa convergence.
Exercice 1
Partie 1
On considère la fonctionf définie sur [0; +∞[ parf(x) = (x−2)e−x+ 2.
1 Effectuer une étude complète la fonctionf sur [0; +∞[ : variations, limites aux bornes, tangente(s) horizontale(s), asymptote(s), ? On présentera les résultats dans un tableau de variations.
. Dérivée :f =uv+ 2, doncf0=u0v+v0u.
( u(x) =x−2
v(x) =e−x ainsi :
( u0(x) = 1 v0(x) =−e−x
f0(x) = 1e−x+ (−e−x)(x−2)
=e−x(1−x+ 2)
= (3−x)e−x f(x) = (3−x)e−x . Signe de la dérivée :
La fonction exponentielle est strictement positive surR, donc pour tout réelx, on ae−x>0, doncf0(x) a le signe de (3−x).
• f0(x) = 0 ⇐⇒ 3−x= 0 ⇐⇒ x= 3.
• f0(x)>0 ⇐⇒ 3−x >0 ⇐⇒ −x >−3 ⇐⇒ x <3.
. Tableau de variation : x
f0(x)
Variations de f
−∞ 3 +∞
+ 0 −
−∞
−∞
2 +e−3 2 +e−3
2 2 2 Représenter dans un repère la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 4]. On prendra 5 cm pour 1 unité sur les deux axes.
1
Partie 2
On considère la suite (un) définie paru0= 0,5 et pour tout entiern, un+1= (un−2)e−un+ 2. On a ainsi pour tout entier n, un+1=f(un).
1 Pour cette question, on complètera dans le repère de la partie 1 et on laissera tous les traits de construction :
• Placeru0sur l’axe des abscisses.
• En utilisant la courbe représentative de la fonctionf, placeru1=f(u0) sur l’axe des ordonnées.
• Placer alorsu1sur l’axe des abscisses. On s’aidera de la droite d’équationy=x.
• En utilisant la courbe représentative de la fonctionf, placeru2=f(u1) sur l’axe des ordonnées.
• Placer alorsu2sur l’axe des abscisses. On s’aidera de la droite d’équationy=x.
• Poursuivre de la même manière pour placeru3etu4sur l’axe des abscisses.
2
2 Quelle conjecture permet d’établir la construction précédente ?
Au vu de la construction, on conjecture que la suite (un) est croissante majorée par 2 l’abscisse du point d’inter- section deCet de la droite∆:y=x.
Par ailleurs les termes de (un) semblent s’accumuler autour de 2. On conjecture donc lim
n→+∞un= 2
Partie 3
1 Démontrer par récurrence que pour tout entiern, on a : 0≤un≤2.
Notonsπ(n) la propriété « 0≤un≤2. »
• Initialisation
On au0= 0,5 donc 06u062 : l’encadrement est vrai au rang 0 ;
• Hérédité
Supposons que pour un certaink∈N, 06uk62 ; par croissance de la fonctionf sur [0 ; 2], on a f(0)6f(uk)6f(2) ou carf(0) = 0 etf(2) = 2,
06uk+162 : la relation est donc vraie au rangk+ 1.
• Conclusion: l’encadrement est vrai au rang 0 et s’il est vrai à un rang quelconquekil est vrai au rang suivant k+ 1 : d’après le principe de récurrence pour tout natureln, 06un62.
2 Démontrer que la suite (un) est croissante.
NotonsQ(n) la propriété « 0≤un≤un+1≤2. »
• Initialisation
On au0= 0,5 , etu1= (u0−2)e−u0+ 2 =−1,5e−0,5+ 2≈1,09 donc 06u06u162 : l’encadrement est vrai au rang 0 ;
• Hérédité
Supposons que pour un certaink∈N, 06uk6uk+162 ; par croissance de la fonctionf sur [0 ; 2], on a f(0)6f(uk)6f(uk+1)6f(2) ou carf(0) = 0 etf(2) = 2,
06uk+16uk+262 : la relation est donc vraie au rangk+ 1.
3
• Conclusion: l’encadrement est vrai au rang 0 et s’il est vrai à un rang quelconquekil est vrai au rang suivant k+ 1 : d’après le principe de récurrence pour tout natureln, 06un6un+162.
La suite (un) est donc croissante.
3 En déduire la preuve du résultat conjecturé dans la partie 2.
La suite (un) est donc croissante majorée par 2, d’après le théorème de la convergence monotone, toute suite croissante majorée est convergente, donc (un) est convergente.
4 Ecrire un algorithme qui donne le plus petit entierN tel que 1,99999≤uN. Quel est cet entier ? On recopiera l’algorithme.
Algorithme
1 # Devoir à la maison n°1 TMATHS3
2 from math import*
3 def f(x):
4 y=(x-2)*exp(-x)+2
5 return y
6
7 n=0
8 u=0.5
9 while u<1.99999:
10 u=f(u)
11 n=n+1
12 print(n,u)
13 14
En éxécutant cet algorithme sous Python, on obtient :
n= 8 etu≈1.9999972, 8 est donc le plus petit entierN vérifiant 1,99999≤uN.
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