J136. Zig et Puce se taquinent
Zig et Puce jouent une partie de taquin sur damier 5 × 5 qui contient 13 pions noirs et 12 pions blances ainsi placés.
Zig commence la partie en retirant un pion noir de son choix puis il fait glisser un pion blanc sur la case adjacente vide qui partage un côté commun avec la case de départ. Puis Puce fait glisser sur la case vide un pion noir adjacent à cette case. A tour de rôle, ils font glisser sur la case vide un pion blanc ou un pion noir adjacent à cette case. Le perdant est celui qui ne peut pas faire bouger un pion de sa couleur.
Qui a une stratégie gagnante ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Appelons cases noires les cases qui contiennent les pions noirs en début de partie et cases blanches les cases qui contiennent les pions blancs en début de partie. La case vide va alternativement occuper une case blanche avant le tour du joueur noir et une case noire avant le tour du joueur blanc. Les cases adjacentes à la case vide seront donc de la couleur du joueur s’apprêtant à jouer.
En particulier, dès lors qu’un pion a été joué, il se retrouve sur une case de couleur opposée à sa sienne et ne pourra donc plus être joué par la suite. Autrement dit, la case vide ne pourra plus occuper une case qu’elle a déjà occupée auparavant. Elle parcourra un chemin sur la grille jusqu’à atteindre un « cul de sac » qui indiquera la fin de partie.
Des règles équivalentes peuvent donc se reformuler de la manière suivante. Le joueur blanc commence, marque une case noire et marque une autre case adjacente à celle-ci. Ensuite, à son tour, chaque joueur ajoute une marque sur une case adjacente à la dernière marque placée et ne qui ne possède pas encore de marque. S’il ne peut pas le faire, il perd la partie.
On dispose ainsi d’une nouvelle représentation du jeu qui sera plus facile à visualiser. Par exemple, les deux premiers coups ci-dessous, se représenteront comme suit par le chemin des marques (ie. le chemin décrit par la case vide) :
Montrons que le joueur noir (ie. le deuxième joueur) a une stratégie gagnante.
Compte tenu des symétries du jeu, le joueur blanc ne dispose en réalité que de quatre ouvertures possibles :
Etudions la première ouverture.
Le joueur noir avance le chemin de marque vers le haut (c'est-à-dire déplace un de ses pions vers le bas). Une fois sur le bord, le joueur blanc n’a que deux choix possibles, mais ils sont en réalité équivalents, par symétrie de la position de jeu. Supposons donc sans nuire à la généralité qu’il poursuit le chemin de marque vers la droite (c'est-à- dire déplace un de ses pions vers la gauche). Il est alors possible pour le joueur noir de jouer chaque coup suivant de sorte à contraindre blanc à un seul mouvement valide. Le chemin de marque décrit alors la figure ci-dessous. Noir gagne la partie.
Etudions la seconde ouverture.
On est amené à distinguer deux sous-cas, comme l’illustre le diagramme ci-dessous. Dans chaque hypothèse, noir gagne la partie.
On procède de même pour l’ouverture suivante. Là aussi, noir gagne la partie.
On procède de même pour la dernière ouverture. Noir gagne une fois encore la partie.
On en conclut que le joueur noir (ie. le deuxième joueur) possède une stratégie gagnante, explicitée ci-dessus.
Puce remporte la partie.
