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D181 : Une valeur plancher

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Academic year: 2022

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D181 : Une valeur plancher

Démontrer que dans tout triangle le rapport de la somme des carrés des côtés à l’aire du triangle est toujours supérieur ou égal à une constante k que l’on déterminera. Quelle est la nature du triangle en cas d’égalité ?

Si a, b, c sont les longueurs des cotés du triangle ABC, et S son aire, nous avons les égalités 2S=bc*sinA=ca*sinB=ab*sinC; puis a2=b2+c2-2bc*cosA, et les deux égalités similaires, qui, si on les ajoute, donnent a2+b2+c2=2(bc*cosA+ca*cosB+ab*cosC). Donc (a2+b2+c2)/S=4 (bc*cosA+ca*cosB+ab*cosC)/(2S)=4(cotgA+cotgB+cotgC). Rappelons que tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC.

La somme des trois cotangentes est minimale si les trois sont égales, dans le cas d’un triangle équilatéral, à cotg(π/3)=√3/3. Soit (a2+b2+c2)/S≥4√3

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