D181 – Une valeur plancher
Problème proposé par Dominique Roux d’après olympiades internationales de mathématiques
Démontrer que dans tout triangle le rapport de la somme des carrés des côtés à l’aire du triangle est toujours supérieur ou égal à une constante k que l’on déterminera. Quelle est la nature du triangle en cas d’égalité ?
Solution proposée par Patrick Gordon On écrit les trois égalités :
a² = b² + c² – 2 bc cosA
En sommant, il vient :
a² + b² + c² = 2 (bc cosA + ca cosB + ab cosC) = 2 abc (cosA / a + cosB / b + cosC / c)
Mais 1/a = 1 / 2R sinA et de même pour 1/b et 1/c. Il vient donc :
a² + b² + c² = abc/R (cotA + cotB + cotC)
Or on retrouve aisément la formule S = abc/4R en écrivant :
S = ½ ab sinC = ½ ab (c / 2R)
Donc abc/R = 4S et par conséquent :
(a² + b² + c²) / S = 4 (cotA + cotB + cotC)
La somme (cotA + cotB + cotC) soumise à la contrainte A + B + C = π a un extremum pour A
= B = C = π/3 c’est-à-dire quand le triangle ABC est équilatéral. Cet extremum est à l'évidence un minimum (il suffit de prendre A très petit pour avoir une somme des cot aussi grande qu'on veut).
Ce minimum valant 3 × 1/√3, la réponse est : k = (a² + b² + c²) / S ≥ 4 √3
