Enonc´e noD152 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) SoitF GHun triangle,IJ Kun triangle ayant des cˆot´es de mˆeme longueur que les m´edianes de F GH, LM N un triangle ayant des cˆot´es de mˆeme longueur que les m´edianes deIJ K.
SoitP le centre de gravit´e deF GH,Qle sym´etrique deF par rapport `aP. Le milieu de P Qest le milieu de GH, car F P est les 2/3 de la m´ediane et F Qles 4/3. Il en r´esulte queGP HQest un parall´elogramme,GQ=P H et les cˆot´es du triangle GP Qsont les 2/3 des m´edianes du triangleF GH. Par cons´equentIJ K est semblable `aGP Q, plus grand dans le rapport 3/2.
Dans le triangle GP Q, la m´ediane issue de G est la moiti´e de GH. La m´ediane homologue dans le triangle IJ K est les 3/4 de GH, par la simili- tude. De mˆeme chaque m´ediane de IJ K est les 3/4 d’un cˆot´e deF GH, et le triangleLM N est semblable `a F GH, plus petit dans le rapport 3/4.
On conclut, pour en revenir `a l’´enonc´e, que le triangleAnDnVnest semblable
`
aAn−2Dn−2Vn−2, plus petit dans le rapport 3/4.
Il suit de l`a queA2kD2kV2kest semblable `aADV, plus petit dans le rapport (3/4)k.
A2k+1D2k+1V2k+1est semblable `aA1D1V1, plus petit dans le rapport (3/4)k. 2) Si l’on connaissait pr´ecis´ement la distance de Deneb `a la Terre T, il y aurait mati`ere `a utiliser la trigonom´etrie sph´erique pour ´evaluer les coor- donn´ees de A, D, V, puis les cˆot´es et les m´edianes du triangle ADV. Ce n’est pas le cas ; de plus Alta¨ır et V´ega sont dans la banlieue imm´ediate de la Terre, vues de Deneb :AT etV T valent 0,005 `a 0,016 de la distanceDT, connue `a un facteur 2 pr`es. L’angle ADV est petit, et un triangle ´egal `a ADV peut ˆetre trac´e dans une feuille rectangulaire de forme A4 et de dia- gonale `a peine plus grande que DT. Les m´edianes de ADV sont voisines de DT pour l’une, voisines deDT /2 pour les deux autres, et un triangle ´egal `a A1D1V1, `a peu pr`es plat, demande aussi une feuille de diagonale voisine de DT.
3) Il reste `a ´evaluer la diagonale d de la feuille A4 en ann´ees-lumi`ere.
En m`etres, les cˆot´es de la feuille sont 2−2,25 et 2−1,75, d’o`u une diagonale 2−2,253−0,5 = 0,3641. . .m`etre, parcourue par la lumi`ere en 1,214·10−9 se- conde, soit 1,405·10−14jour, et finalementd= 3,846·10−17ann´ee-lumi`ere.
En choisissant ktel que
3d/4< DT(3/4)k< d
on sera assur´e que les premiers triangles AnDnVn entrant dans la feuille A4 sontA2kD2kV2k etA2k+1D2k+1V2k+1.
La question de l’´enonc´e admet donc pour r´eponse
1
n= 2
log(DT /d) log(4/3)
soitn= 314 pourDT = 1600,n= 318 pourDT = 3200.
La valeurn= 316 convient pour 2055< DT <2740, approximativement (`a 1 ou 2% pr`es, puisqu’on a n´eglig´e AT etV T devant DT).
2
