Le triangle de l’été sur une feuille de papier
Problème D152 de Diophante
Le triangle de l’été bien connu des astronomes amateurs est formé par les trois étoiles les plus brillantes qui apparaissent dans l’hémisphère Nord entre juin et
septembre à la tombée de la nuit.Ces trois étoiles Altaïr (A), Deneb (D) et Vega (V) ont les caractéristiques suivantes :
Altaïr (constellation de l’Aigle) : ascension droite = 19h 50 mn, déclinaison = 8° 52’, distance à la Terre = 16,7 années-lumière
Deneb (constellation du Cygne) : ascension droite = 20h 41 mn, déclinaison = 45°
16’, distance à la Terre = entre 1 600 et 3 200 années-lumière
Vega (constellation de la Lyre) : ascension droite = 18h 36 mn, déclinaison = 38° 47’, distance à la Terre = 25,4 années-lumière
Je trace les médianes du triangle de l’été ADV avec lesquelles je construis un triangle dont les côtés ont mêmes longueurs que ces médianes. Puis je trace les médianes du triangle pour construire un nouveau triangle …et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un triangle qui entre dans ma feuille de papier de format A4.
Quelle est la valeur de n ? Solution
Les triangles étant par la suite définis à un déplacement près, notons f(T) le triangle dont les côtés ont mêmes longueurs que les médianes du triangle T.
Ci-contre, T étant représenté par le triangle ABC, il apparaît que f(T) peut être représenté par le triangle BLJ et f2(T) par le triangle NBP.
Ce triangle NBP est
homothétique de T dans le rapport 3/4.
Ce rapport 3/4 est aussi celui des
surfaces de f(T) et T. N
En effet, ci-dessus, chaque point autre que A, B et C peut être défini comme barycentre de ces trois points et, modulo une transformation affine convenable, on peut se ramener au cas où ABC est un triangle équilatéral, où ce rapport est le carré de √3/2.
Pour trouver n, il nous faudrait connaître la surface du triangle ADV.
En fait ce n’est pas nécessaire car le triangle ADV est très très pointu (un coté est au moins cent fois plus court que chacun des deux autres, seul l’angle en D est très aigu). Son image par f est un triangle très allongé (avec deux angles très aigus) et son image par f2 lui est homothétique dans le rapport 3/4.
Il s’agit donc de passer de sa plus grande dimension de l’ordre de 2250 années- lumière à celle de la diagonale de la feuille A4, qui mesure 36,3 cm, sachant que :
1 année-lumière = 9 460 895 208 536 470 mètres
Soit encore de passer de 6 1019 à 1 en réduisant de 3/4 un coup sur deux.
LOG (6 1019) = 19,77815 et LOG (3/4) = - 0,1249387
Le quotient vaut 158 donc la valeur chercher de n est le double 316.
Remarque ; J’avais commencé par me lancer dans les calculs astronomiques qui vont suivre mais ce n’est pas nécessaire.
Commençons par placer, sur une sphère unité, les points a, d, v, où apparaissent A, D et V, pour avoir une projection du triangle ADV.
Une heure d’ascension droite correspond à quinze degrés et une minute à un quart de degré. Ainsi les ascension droites de A, D et V sont respectivement de 297,5 ; 310,25 et 279, ou encore 18,5 ; 31,25 et 0 en prenant l’origine à l’aplomb de Véga. Les déclinaisons correspondantes sont 8,867 ; 45,267 et 38,783.
Rappelons qu’on obtient les coordonnées d’un point P sur la sphère unité par les formules :
x = cos u . cos v y = sin u . cos v z = sin v Avec les données ci-dessus, on obtient les
coordonnées
de a 0,937 0,314 0,154
de d 0,602 0,365 0,710
de v 0,780 0 0,626
Le triangle adv est tel que : dv = 0,415 ; av = 0,588 ; ad = 0,651.
La distance av vaut 2 sin(w/2), où w est l’angle sous lequel on voit AV de la Terre. Cet angle vaut 2 arcsin(0,207), soit environ 24°.
D’où la distance, en années lumières, de Altaïr à Véga comme la racine carrée de AT2 + VT2 – 2 AT.VT.cosw soit 12,2 années lumières.
Par ailleurs, compte tenu de la grande distance de Deneb à la Terre et aux deux autres étoiles, nous pouvons considérer que les droites TD ; AD et VD sont parallèles et font avec AV l’angle ß que font Od et av sur la sphère unité. On obtient ß par son cosinus qui est le quotient du produit scalaire des vecteurs par le produit des longueur des vecteurs.
D’où cos ß = N/D où :
N = 0,602*(0,937 - 0,780) + 0,365*0,314 + 0,710*(0,154 – 0,626) et D = 1*0,588 Il vient cos ß = - 0,214, pour ß de l’ordre de 102° et sin ß = 0,977.
Ainsi la hauteur menée de D sur AV est de l’ordre des cotés DA et DV à 1/40 près. La surface S du triangle ADV est donc comprise entre 1600*0,977*12,2/2 et son double. Etc.
