D152 Le triangle de l’été sur une feuille de papier [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Nous utilisons les formules de passage des coordonnées équatoriales en coordonnées cartésiennes pour en déduire les distances du triangle ADV.
a=ascension d=déclinaison
r=distance par rapport à la terre (centre de la terre ou surface de la terre ? de toute façon par rapport à 1 année lumière = 9,46.10^15 m, le rayon de la terre = 6,4.10^6 m est négligeable)
x=r*cos(d)*cos(a) y=r*cos(d)*sin(a) z=d*sin(d)
Ainsi nous pouvons en déduire les valeurs exactes AD, DV et AV, ainsi que les angles grâce à la relation d'Al-Kashi (a² = b² + c² - 2bc.cos(A)).
En fait le triangle est très effilé puisque l'angle en D est quasi nul (ceci est dû au fait que D est très loin à côté des autres étoiles).
Du coup, AD et DV sont dans une fourchette 1,5.10^22 mm à 3,0.10^22 mm (x)
Deux opérations reviennent à réduire le triangle original d'un facteur 3/4 comme le montre aisément ce dessin faisant apparaître de nombreux parallélogrammes :
La diagonale d'une feuille A4 (297x210) vaut environ 364 mm (y).
Une condition nécessaire pour qu'un triangle tienne dans une feuille A4 est que son côté le plus grand soit inférieur à la diagonale de la feuille.
Bref nous cherchons donc n tel que x*(3/4)^(n/2) =< y En passant au log, nous en déduisons que n >=
2*(log(x)-log(y))/(log(4)-log(3)).
Nous pouvons vérifier que dans le pire des cas (Deneb-Terre = 3200 al), avec n = 319 le triangle tiendra dans la feuille.
