D152 : Le triangle de l’été sur une feuille de papier
Dans un triangle dont les cotés ont pour longueur a, b, c, et les médianes a1, b1, c1, on a les relations classiques 2a12 =b2+c2-a2/2, 2b12 =c2+a2-b2/2, 2c12 =a2+b2-c2/2… En itérant, les longueurs a2,, b2, c2 des médianes du triangle dont les cotés ont pour longueurs a1, b1, c1 vérifient a2=3a/4, b2=3b/4 et c2=3c/4.
Si l’on tient compte des ordres de grandeur des distances, Deneb étant environ 100 fois plus loin de nous qu’Altaïr et Vega, on s’aperçoit que le triangle ADV a un angle quasi- nul en D, et le triangle A1D1V1 un angle quasi-plat en D1. La plus grande dimension de ces triangles est à peu ( !) de chose près ( moins d’une année-lumière !) la distance d de la terre à Deneb.
Il en résulte que la plus grande dimension des triangles de rang n=2p ou 2p+1 sera dp=(3/4)pd
Si l’on prend pour d l’estimation maximale de 1000 pc, soit 3,085 1019m, logd=19,489 log(0,297)=-0,527 et log(4/3)=0,1249 on trouve que le triangle rentrera dans une feuille A4 pour p≥161, soit n≥322 (on trouve p≥158 donc n≥316 avec l’estimation basse de d)
