D152 - Le triangle de l’été sur une feuille de papier
Le triangle de l’été bien connu des astronomes amateurs est formé par les trois étoiles les plus brillantes qui apparaissent dans l’hémisphère Nord entre juin et septembre à la tombée de la nuit.
Ces trois étoiles Altaïr (A), Deneb (D) et Vega (V) ont les caractéristiques suivantes :
Altaïr (constellation de l’Aigle) : ascension droite = 19h 50 mn, déclinaison = 8° 52’, distance à la Terre = 16,7 années-lumière
Deneb (constellation du Cygne) : ascension droite = 20h 41 mn, déclinaison = 45° 16’, distance à la Terre = entre 1600 et 3200 années-lumière
Vega (constellation de la Lyre) : ascension droite = 18h 36 mn, déclinaison = 38° 47’, distance à la Terre = 25,4 années-lumière
Je trace les médianes du triangle de l’été ADV avec lesquelles je construis un triangle A1D1V1 dont les côtés ont mêmes longueurs que ces médianes. Puis je trace les médianes du triangle A1D1V1 pour construire un nouveau triangle A2D2V2…et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un triangle AnDnVn qui entre dans ma feuille de papier de format A4.
Quelle est la valeur de n ?
1. La réduction d’un triangle
Considérons un triangle quelconque de côtés a0, b0, c0.
La construction proposée établit alors les relations de récurrence suivantes, issues de la formule de la médiane :
2 1 1 1 2
1 4 2 2
2 1 1 1 2
1 2 4 2
1 1 1
2 2
2 2 4
1
n n
n n
n n
a a
b b
c c
+ + +
−
= −
−
Elles impliquent notamment :
( ) ( )
( )
3 2
2 1 1 1 2 2 4 2
22 14 21 21 2 3 2 2
2 2 4 2 4
1 1 1
2 2 2 2
3
2 2 4
2
4
0 0
0 0
0 0
n n n
n n n
n n n
a a a
b b b
c c c
+ + +
−
= − =
−
C'est-à-dire, selon la parité de n :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
2 4 0 2 1 4 1
3 3
2 4 0 2 1 4 1
3 3
2 4 0 2 1 4 1
et
k k
k k
k k
k k
k k
k k
a a a a
b b b b
c c c c
+
+
+
= =
= =
= =
2. Le triangle de l’été
Considérons les coordonnées sphériques des étoiles (1 al = 9460730472580800 m)
Ascension droite Déclinaison Distance
h mn θ ° ' ϕ al ρ (en m)
Altaïr 19 50 5,1923545 8 52 0,154753 16,7 1,57994E+17
Deneb (proche) 20 41 5,4148840 45 16 0,790052 1600 1,51372E+19
(éloignée) 3200 3,02743E+19
Vega 18 36 4,8694686 38 47 0,676897 25,4 2,40303E+17
On en déduit leurs coordonnées cartésiennes par : cos cos
cos sin sin x y z
ρ ϕ θ
ρ ϕ θ ρ ϕ
=
=
=
x y z
Altaïr 7,20818E+16 -1,38468E+17 2,43525E+16 Deneb (proche) 6,88359E+18 -8,13122E+18 1,07533E+19 (éloignée) 1,37672E+19 -1,62624E+19 2,15066E+19 Vega 2,93034E+16 -1,85014E+17 1,5052E+17
On calcule alors les longueurs a0=AD , b0=DV , c0=VA (en m) des côtés du triangle ADV ; Puis celles de A1D1V1 grâce aux formules de la médiane (mentionnées au chapitre 1) :
si Deneb proche si Deneb éloignée
n an bn cn n an bn cn
0 1,5013E+19 1,49178E+19 1,4112E+17 0 3,015E+19 3,0055E+19 1,4112E+17 1 7,4117E+18 7,55446E+18 1,49653E+19 1 1,498E+19 1,5123E+19 3,0102E+19
3. Une feuille de papier
On peut tout d’abord donner une valeur approchée de la solution, en considérant qu’un triangle équilatéral de côté 1,5.1019 m se transforme un triangle équilatéral de côté inférieur à 30 cm, en un nombre d’itérations :
19 log 5
2 316
log 4 log 3
n +
= =
−
En appliquant les formules trouvées au chapitre 1 aux données exactes du chapitre 2, on trouve en réalité :
si Deneb proche si Deneb éloignée
k n an bn cn k n an bn cn
157 314 0,3639875 0,3616800 0,0034214 160 320 0,3083826 0,3074091 0,0014434 315 0,1796951 0,1831562 0,3628316 321 0,1532196 0,1546799 0,3078954 158 316 0,2729906 0,2712600 0,0025660 161 322 0,231287 0,2305568 0,0010825 317 0,1347713 0,1373671 0,2721237 323 0,1149147 0,1160099 0,2309216 Si Deneb est proche (respectivement éloignée), la valeur n=316 (respectivement n=322) permet d’obtenir un triangle qui entre dans une feuille au format A4.
On notera également que, tous ces triangles étant très aplatis, leur représentation sur une feuille de papier sera finalement fort peu élégante.
