D181 – Une valeur plancher
Problème proposé par Dominique Roux d'après olympiades internationales de Mathématiques
Démontrer que dans tout triangle le rapport de la somme des carrés des cotés à l'aire du triangle est toujours supérieur ou égale à une constante k que l'on déterminera. Quelle est la nature du triangle en cas d'égalité?
Solution de Claudio Baiocchi
Le minimum correspond au triangle équilatéral pour lequel k=4 3.
Soient [b,c,Â] deux côtés du triangle et l'angle compris. On va prouver que le minimum correspond à b=c et cos(Â)=1/2 ou encore tan(Â/2)=1/ 3.
Puisque l'aire du triangle associé au triplet [b,c,Â] vaut b c sin(Â)/2 et le carré a2 du troisième côté vaut b2 + c2 - 2 b c cos(Â), le rapport à minimiser vaut
2 [𝐛2 + 𝐜2 − 𝐛 𝐜 cos(Â)]
𝐛 𝐜 sin(Â)/𝟐 = 4 cos(Â) sin(Â)
𝐛2+ 𝐜𝟐
𝐛 𝐜 − 4 sin(Â)
Puisque b2 + c2 ≥ 2 b c, avec égalité seulement si b = c, pour avoir un minimum il faut choisir b=c;
on doit donc minimiser 4 [ 2 - cos(Â) ] / sin(Â) qui, en termes de t := tan(Â/2), vaut 2 3 𝐭2+ 1
𝐭 = 2 3 [ 3 𝐭 + 1 3 𝐭 ]
La dernière quantité, pour t>0, a un minimum strict lorsque 3 t = 1; en fait la fonction f(x):=x+1/x a, pour x>0, un minimum strict en x=1, comme on vérifie aisément à partir de f(x)=[x-1/ x ]2+2.
On remarquera que ce dernier argument pouvait s’appliquer aussi (avec
=
𝐛𝐜 ) à la déjà utilisée inégalité 𝐛
2+ 𝐜𝟐
𝐛 𝐜
