D181 Une valeur plancher
Selon la formule de Héron, l’aire d’un triangle de côtés ayant pour longueurs a, betcvauts=p
p(p−a) (p−b) (p−c) où 2p=a+b+c.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs (a, b, c) et (1,1,1) en- traînea2+b2+c2> (2p)32.
L’inégalité arithmético-géométrique appliquée àp−a, p−b et p−c implique
p 3 >q3
s2
p,d’où p2>3√ 3s.
D’où, en combinant les deux résultats,a2+b2+c2>4√
3set donck= 4√ 3.
Dans les deux inégalités, l’égalité se produit ssia=b=c(triangle équilatéral).
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