Solution de Gaston ParrourPréliminaire :

A490. Des restes à (con)sommer

Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)³ par k³ est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,

Q1 la somme des restes des divisions de (k + 1)² par k² ? Q2 la somme des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴ ?

Solution de Gaston Parrour

Préliminaire : Calcul de n (valeur maximum de k dans les sommes considérées)

La somme R3 des restes des divisions de (k+1)³ par k³ est R3 = 999 949 → R3 (donné) détermine n le rang de k auquel la sommation des restes s'arrête.

(k+1)³ = k³+3k²+3k+1 → (k+1)³ = 3k²+3k+1 (mod k³) avec A = 3k²+3k+1

si A < k³ → A constitue le reste de la division de (k+1)³ par k³ donc

valeurs de k pour lesquelles A ≥ k³ en explicitant (k+1)³ – k³≥ k³ → k ≤ 1/(2^1/3-1) = 3,847 …

→ Pour l'entier k = 2 et k = 3 les restes se calculent directement ; r(k) désignant le reste de rang k, on a

r(2) = 3 et r(3) = 10 Donc

R3 = 13 + Σ_(k=4,n) (3k²+3k+1) = 13 + Σ_(k=4,n) [(k+1)³ – k³] La dernière somme à droite se réduit à (n+1)³ – 4³

Avec la donnée de R3 = 999 949 → (n+1)³ = 10⁶ ==> n = 99

Appliquons cela pour :

Q1 la somme R2 des restes des divisions de (k + 1)² par k²

R2 est la somme sur k (k = 2,n) des restes des divisions (k+1)²/k² En suivant la même démarche que ci-dessus :

(k+1)² = 2k + 1 (mod k²) avec B = 2k+1

si B < k² , B constitue le reste de la division concernée donc

valeurs de k pour lesquelles B ≥ k² soit (k+1)² – k² ≥ k² → k ≤ 1/(2^1/2 -1) = 2,414 …

→ Pour l'entier k = 2, le reste r(k) est r(2) = 1 Donc

R2 = 1 + Σ_(k=3,n)(2k+1) = 1 + (n+1)² – 3² et avec n = 99 , ==> R2 = 10⁴ – 8 = 9 992

Q2 la somme R4 des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴

R4 est la somme sur k (k = 2,n) des restes des divisions (k+1)⁴/k⁴ (k+1)⁴ = 4k³ + 6k² + 4k + 1 (mod k⁴)

avec C = 4k³ + 6k² + 4k + 1

si C < k⁴ , C constitue le reste de la division concernée donc

valeurs de k pour lesquelles C ≥ k⁴ soit (k+1)⁴ – k⁴ ≥ k⁴

→ k ≤ 1/(2^1/4 -1) = 5,28 …

→ Calcul direct des restes r(k) pour k = 2,3,4 et 5 r(2) est le reste de (2+1)⁴/2⁴ → r(2) = 1 on obtient de même → r(3) = 13 r(4) = 113 r(5) = 46

→ La contribution de ces 5 premiers restes à la somme est égale à 173 Donc

R4 = 173 + Σ_(k=6,n) (4k³ + 6k² + 4k + 1) = 173 + (n+1)⁴ – 6⁴ ==> R4 = 10⁸ – 1123 = 99 998 877