A358. Les bicolores
Par convention un entier naturel est appelé "bicolore" s’il est écrit exclusivement avec deux chiffres a et b distincts, a pair > 0 et b impair.
Q1 Donner une suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 106 et divisibles respectivement par les puissances successives de 2: 2 à 210.
Q2 Montrer que pour tout entier n positif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n .
Solution proposée par Gaston Parrour
Préliminaire
Pour n ≤ m , un nombre N écrit en base 10 N = a
m 10m + a
m-110m-1 + … + a
0 100 , possède la partie am 10m + am-110m-1 + … + an10n divisible par 2n → Pour que N soit divisible par 2n il faut (et il suffit) que la partie restante P = a
n-110n-1 + … + a
0100 soit divisible par 2n N.B. Cette partie P est formée par les n derniers chiffres de N
Q1 Suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 106 et divisibles respectivement par les puissances successives de 2 : 2 à 210
Notation Nn est le nombre de la suite de rang n divisible par 2n → N1 > N2 > N3 > … > N10 Les divisions par les puissances de 2 exigent que les nombres de la suite soient tous pairs
→ Les nombres Nn se terminent par ai = 2, 4 , 6 ou 8
→ Le premier nombre pair inférieur à 106 , choisi pour N1, peut être → N1 = 999 998 → Un nombre inférieur à N1 et divisible par 22 , peut être (au plus proche) → N2 = 999 996 → N3 juste inférieur à N2 (où 23 divise le nombre formé des 3 derniers chiffres) → N3 = 999 992 Un nombre N4 < N3 pour lequel le nombre N' formé des 4 derniers chiffres
est divisible par 24 = 16 ( N' < 9 992 ) peut être → N4 = 999 888 En poursuivant ainsi :
un nombre N5 où 25 divise le nombre formé par les 5 derniers chiffres, peut être → N5 = 994 944 un nombre N6 où 26 divise le nombre formé par les 6 derniers chiffres, peut être → N6 = 989 888 → A partir de là, on a affaire à des nombres de plus de 6 chiffres que 2n (avec n > 6) doit diviser
En procédant de façon systématique à partir de N6 ci-dessus, on trouve (à la calculette) que
27 divise → N7 = 885 888 → Rendu à cette étape et puisque N7 est encore peu éloigné de 106, on peut considérer l'autre extrémité de la suite :
le plus petit nombre N10 à la fois bicolore (au sens de l'énoncé) et multiple de 210 = 1024 est (détermination à la calculette) → N10 = 111 616 A partir de ce N10, on produit par multiplication par 2 un nombre bicolore N9 = 2 x N10 bien sûr divisible par 2 → N9 = 223 232 A partir de ce N9 on produit par multiplication par 3 un nombre bicolore N8 = 3 x N9 ,divisible par 28 → N8 = 669 696
→ une suite décroissante de dix entiers bicolores, majorée par 106 et répondant aux conditions de divisibilité de l'énoncé, est
N1 = 999 998 N2 = 999 996 N3 = 999 992 N4 = 999 888 N5 = 994 944 N6 = 989 888 N7 = 885 888 N8 = 669 696 N9 = 223 232 N10 = 111 616 Q2 Montrer que pour tout entier n positif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n
→ Pour cela, on peut (par exemple) montrer qu'il est possible de produire systématiquement un nombre bicolore Nn+1 (divisible par 2n+1) à partir d'un nombre bicolore Nn (divisible par 2n)
Tout d'abord les nombres Nn pairs se terminent tous par ai = 2, 4, 6, 8
→ Parmi ces ai seul ''6'' , produit d'un pair par un impair, n'est pas seulement puissance de 2 Choisissons ''6'' pour chiffre a, il reste à choisir le chiffre impair b
→ Avec N1 = 6 → 21 | N1
Alors il faut choisir b impair de façon à ce que le nombre écrit ''b6'' soit divisible par 22 Le choix possible est b = 1 ou b = 9
Par exemple avec b = 9 → N2 = 96 22 | N2 → La question est alors :
Peut-on produire une suite de terme général Nn où 2n | Nn à partir de cette ''amorce'' ''96'' ? On constate que N3 = 696 est tel que 23 | N3
N4 = 9 696 '' 24 | N4 N.B. Le nombre de chiffres de Nn est ici égal à n
Peut-on généraliser ?
→ Par récurrence à partir de ce qui précède :
Supposons qu'à une certaine étape n (avec a = 6 et b = 9) , on obtient
Nn = K 2n où Nn possède n chiffres , K est soit pair, soit impair Si le chiffre a = 6 est placé à gauche de Nn
Nn → Nn' = 6.10n + K 2n soit donc Nn' = 2n+1 3.5n + K2n si K est pair K = 2 K1
Nn' = 2n+1(3.5n + K1) → on peut choisir Nn+1 = Nn' si K est impair
ce qui précède ne peut s'appliquer
Alors, avec K impair, le chiffre b = 9 est placé à gauche de Nn
Nn → Nn' = 9.10n + K 2n soit donc Nn' = 2n [9.5n + K]
Le crochet, somme de deux nombres impairs, est pair [9.5n + K] = 2A et Nn' = 2n+1 A → on peut choisir Nn+1 =Nn' Conclusion
→ A partir d'un nombre Nn bicolore de n chiffres (formé avec a = 6 et b = 9) et divisible par 2n, on peut toujours créer un nombre Nn+1 (de n+1 chiffres), bicolore (utilisant les mêmes chiffres a et b) et tel que 2n+1 divise Nn+1
Puisque le bicolore N2 = 96 est divisible par 22, par récurrence on peut dire :
==> A tout n entier positif on sait associer, de la façon décrite ci-dessus, un bicolore Nn (composé avec 9 et 6) et divisible par 2n
Remarque finale : ce qui est développé ci-dessus avec le choix b=9 et a=6, se reconduit à bien sûr l'identique avec l'autre choix possible signalé en début de Q2 → b=1 (et a = 6) :
A tout entier positif n, on peut associer un bicolore Mn (composé de 1 et de 6) et divisible par 2 n ==> A tout entier n positif on sait associer au moins deux nombres bicolores Nn et Mn
(avec les chiffres 1 et 6 ou les chiffres 9 et 6) divisibles par 2n
